Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча - полярной оси. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.
O |
j |
x |
y |
M(x;y) |
r |
Рис. 18 |
Полярными координатами точки М называются числа r и j. При этом число r считается первой координатой и называется полярным радиусом, число j - второй координатой и называется полярным углом, пишут M(r; j).
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол j ограничить промежутком (-p; p] (или 0 £ j < 2p), а полярный радиус r - [0; ¥).
Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Для этого совместим начало прямоугольной системы координат Oxy с полюсом, а положительную полуось абсцисс - с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты r и j (рис. 19). Очевидно,
х = r cos j, у = r sin j (3.1)
Формулы (3.1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат через прямоугольные следуют из формул (3.1):
, . (3.2)
Заметим, что формула определяет два значения полярного угла j, так как j изменяется от -p до p. Следует установить (по знакам x и y) четверть, в которой лежит искомый угол.
Пример 1. Дана точка М(2;2). Найти полярные координаты точки М.
Решение. Из формул (3.2) находим r и j
, .
Отсюда j = p/4 или j = 5p/4. Но т. к. точка М лежит в первой четверти, то нужно взять j = p/4. Итак, М( ; p/4).