Преобразование декартовых координат

Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:

1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;

2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.

O

O¢

M(x;y)

x

x¢

y

y¢

y

x

b

a

My

O¢y

O¢x

Рис. 19

Mx

O

M(x;y)

x

x¢

y

y¢

My

Рис. 20

Mx

 

 

1. Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху. Пере­несем начало координат в точку О¢(а; b), где а и b - координаты нового начала в старой системе координат Оху. Новые оси коор­динат О¢х¢ и О¢у¢ выберем сонаправленными со старыми осями Ох и Оу. Обозначим координаты точки М в системе О¢х¢у¢ (новые координаты) через (х¢; у¢). Выведем фор­мулы, выражающие связь между новыми и старыми координатами точки М. Для этого про­ведем перпендикуляры MM_x^Ox, ММ_у^Оу, О¢О¢_х^Ох, O¢O¢y^Oy и введем обозначения и для точек пересечения прямых ММ_x и ММ_у соответственно с осями О¢х¢ и О¢у¢ (рис. 20). Тогда, получаем

x = OM_x = OO¢_x + O¢_xM_x = ОО¢_х + = a + х¢,

y = OM_y = OO¢_y + O¢_yM_y = ОО¢_y + О¢ = b + y¢.

Итак,

x = a + х¢, y = b + y¢. (3.3)

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым х¢ и y¢ и наоборот.

2. Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху вок­руг начала координат О на угол a в положение Ох'у' (рис. 21).

Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе координат Оху и координаты (х'; у') в новой системе координат Ох'у'. Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и но­выми координатами точки М. Для этого обозначим через (r; j) полярные координаты точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох, а через (r; j') - поляр­ные координаты той же точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох'.

Очевидно, r = |OM|, q = q¢ + a. Из прямоугольного треугольника OMM_x:

x = r cosq, y = r sinq,

и аналогично

x¢ = r cosq¢, y¢ = r sinq¢.

Таким образом,

x = r cosq = r cos(q¢+ a) = r(cosq¢ cosa - sinq¢ sina) =

= x¢cosa - y¢sina,

y = r sinq = r sin(q¢+ a) = r(cosq¢ sina + sinq¢ cosa) =

= x¢sina + y¢cosa.

Итак,

(3.4)

x = x¢cosa - y¢sina,

y = x¢sina + y¢cosa. (3.4)

Формулы (3.4) называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые (х'; у') этой же точки М, и наоборот.

Пример 2. Определить координаты точки М(4; 6) в новой систе­ме координат О¢х¢у¢, начало О¢ которой находится в точке (-3; 2), а оси параллельны осям старой системы координат.

Решение. Из формулы (3.3) имеем x¢ = х - а, y¢ = y - b, т. е.

x¢ = 4 + 3 = 7, y¢ = 6 -2 = 4.

В новой системе координат точка М имеет координаты (7; 4).

3.3. Уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

a

a

y

x

x¢

x

y

O

M(x;y)

N(0;b)

Рис. 21

K(x;b)

Пусть прямая пересекает ось Oy в точке N(0;b) и образует с осью Ox угол a (0 £ a < p) (Рис. 21). Возьмем на прямой произвольную точку M(x; y). Тогда тангенс угла a наклона прямой найдем изпрямоугольного треугольника MNK:

.

Введем обозначение , получаем уравнение

y = kx + b, (3.5)

которому удовлетворяют координаты любой точки M(x; y) прямой.

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравне­ние (3.1) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая параллельна оси Oy, то , уравнение (3.5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой имеет вид х = а, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.

Общее уравнение прямой

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, (3.6)

где А, В, С - произвольные числа, причем А, В не равны нулю одновременно, т. е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

· C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат;

· А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 (By + C = 0) - прямая параллельна оси Ох;

· В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 (Ax + C = 0) – прямая параллельна оси Оу;

· В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу;

· А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку M(x₀; y₀) и образует с осью Ох угол . Уравнение этой прямой можно записать в виде y₀ = kx₀ + b. Отсюда b = y₀ - kx₀. Подставляя значение b в уравнение (3.1), получим искомое уравнение прямой y = kx + y₀ - kx₀, т. е.

y - y₀ = k(x - x₀). (3.7)

Уравнение (3.7) с различными значениями k называют уравнениями пучка прямых с центром в точке M(x₀; y₀). Из этого уравнения нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точ­ку (2; -4) и имеющей угловой коэффициент k = 3.

Решение. Точку (2; -4) обозначим М₀, тогда на основании урав-нения пучка прямых (3.7) имеем y - (-4) = 3(x - 2), или 3x - y - 10 = 0.

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть заданы две точки M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; y₂) и х₁ ¹ х₂, y₁ ¹ y₂. Для составления уравнения прямой М₁М₂ запишем уравнение пучка прямых, про­ходящих через точку М₁: y - y₁ = k(x - x₁). Т. к. прямая проходит через точку М₂, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пучка прямых: y₂ - y₁ = k(x₂ - x₁). Отсюда находим угловой коэффициент

.

Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид

,

или

. (3.8)

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 2) и В(3; 4).

Решение. Применяя формулу (3.8), получаем

 

или .

 

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (3.6) С ¹ 0, то, разделив на –С, полу­чим: или

, (3.9)

где

.

a

b

O

y

x

M1(0;b)

M2(a;0)

Рис. 22

Уравнение вида (3.9) называется уравнением пря­мой в отрезках. Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу (рис. 23).

Пример 5. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

Решение. Определим коэффициенты a и b

 

Составим искомое уравнение прямой в отрезках вида (3.9)

.

Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треуголь­ника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Решение. Уравнение прямой имеет вид (3.9). Определим коэф­фициенты a и b. Согласно условию a = b, S_D = ab/2 = 8 Þ a = b = ±4, a = -4 не подходит по условию задачи.

Подставляем найденные значения a и b в формулу (3.9)

или х + у – 4 = 0.

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀; y₀) перпендикулярно данному ненулевому вектору (рис. 24).

O

y

x

M0(x0;y0)

M(x;y)

Рис. 23

Возьмем на прямой произвольную точку M(x; y) и рассмотрим вектор . Поскольку , то их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0. (3.10)

Уравнение (3.10) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормаль­ным вектором этой прямой.

Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 2) перпендикулярно вектору (3; -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 общее уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следо­вательно С = -1.

Итак, искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

 

Нормальное уравнение прямой

Если обе части общего уравнения прямой Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

х cosj + y sinj - p = 0, (3.11)

O

y

x

Рис. 24

р

j

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох (рис. 25).

Уравнение вида (3.11) называется нормальным уравнением прямой.

Знак ± нормирующего множителя выбирается из условия m×С < 0.

Пример8. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

- уравнение этой прямой в отрезках:

 

- уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

 

- нормальное уравнение прямой:

;

cos j = 12/13; sin j = -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.