Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.
O |
O¢ |
M(x;y) |
x |
x¢ |
y |
y¢ |
y |
x |
b |
a |
My |
O¢y |
O¢x |
Рис. 19 |
Mx |
O |
M(x;y) |
x |
x¢ |
y |
y¢ |
My |
Рис. 20 |
Mx |
1. Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху. Перенесем начало координат в точку О¢(а; b), где а и b - координаты нового начала в старой системе координат Оху. Новые оси координат О¢х¢ и О¢у¢ выберем сонаправленными со старыми осями Ох и Оу. Обозначим координаты точки М в системе О¢х¢у¢ (новые координаты) через (х¢; у¢). Выведем формулы, выражающие связь между новыми и старыми координатами точки М. Для этого проведем перпендикуляры MMx^Ox, ММу^Оу, О¢О¢х^Ох, O¢O¢y^Oy и введем обозначения и для точек пересечения прямых ММx и ММу соответственно с осями О¢х¢ и О¢у¢ (рис. 20). Тогда, получаем
x = OMx = OO¢x + O¢xMx = ОО¢х + = a + х¢,
y = OMy = OO¢y + O¢yMy = ОО¢y + О¢ = b + y¢.
Итак,
x = a + х¢, y = b + y¢. (3.3)
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым х¢ и y¢ и наоборот.
2. Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху вокруг начала координат О на угол a в положение Ох'у' (рис. 21).
Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе координат Оху и координаты (х'; у') в новой системе координат Ох'у'. Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и новыми координатами точки М. Для этого обозначим через (r; j) полярные координаты точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох, а через (r; j') - полярные координаты той же точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох'.
Очевидно, r = |OM|, q = q¢ + a. Из прямоугольного треугольника OMMx:
x = r cosq, y = r sinq,
и аналогично
x¢ = r cosq¢, y¢ = r sinq¢.
Таким образом,
x = r cosq = r cos(q¢+ a) = r(cosq¢ cosa - sinq¢ sina) =
= x¢cosa - y¢sina,
y = r sinq = r sin(q¢+ a) = r(cosq¢ sina + sinq¢ cosa) =
= x¢sina + y¢cosa.
Итак,
(3.4) |
y = x¢sina + y¢cosa. (3.4)
Формулы (3.4) называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые (х'; у') этой же точки М, и наоборот.
Пример 2. Определить координаты точки М(4; 6) в новой системе координат О¢х¢у¢, начало О¢ которой находится в точке (-3; 2), а оси параллельны осям старой системы координат.
Решение. Из формулы (3.3) имеем x¢ = х - а, y¢ = y - b, т. е.
x¢ = 4 + 3 = 7, y¢ = 6 -2 = 4.
В новой системе координат точка М имеет координаты (7; 4).
3.3. Уравнения прямой на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
a |
a |
y |
x |
x¢ |
x |
y |
O |
M(x;y) |
N(0;b) |
Рис. 21 |
K(x;b) |
.
Введем обозначение , получаем уравнение
y = kx + b, (3.5)
которому удовлетворяют координаты любой точки M(x; y) прямой.
Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (3.1) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая параллельна оси Oy, то , уравнение (3.5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой имеет вид х = а, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.
Общее уравнение прямой
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0, (3.6)
где А, В, С - произвольные числа, причем А, В не равны нулю одновременно, т. е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
· C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат;
· А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 (By + C = 0) - прямая параллельна оси Ох;
· В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 (Ax + C = 0) – прямая параллельна оси Оу;
· В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу;
· А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку M(x0; y0) и образует с осью Ох угол . Уравнение этой прямой можно записать в виде y0 = kx0 + b. Отсюда b = y0 - kx0. Подставляя значение b в уравнение (3.1), получим искомое уравнение прямой y = kx + y0 - kx0, т. е.
y - y0 = k(x - x0). (3.7)
Уравнение (3.7) с различными значениями k называют уравнениями пучка прямых с центром в точке M(x0; y0). Из этого уравнения нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -4) и имеющей угловой коэффициент k = 3.
Решение. Точку (2; -4) обозначим М0, тогда на основании урав-нения пучка прямых (3.7) имеем y - (-4) = 3(x - 2), или 3x - y - 10 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть заданы две точки M1(x1; y1), M2(x2; y2) и х1 ¹ х2, y1 ¹ y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М1: y - y1 = k(x - x1). Т. к. прямая проходит через точку М2, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пучка прямых: y2 - y1 = k(x2 - x1). Отсюда находим угловой коэффициент
.
Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид
,
или
. (3.8)
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 2) и В(3; 4).
Решение. Применяя формулу (3.8), получаем
или .
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой (3.6) С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или
, (3.9)
где
.
a |
b |
O |
y |
x |
M1(0;b) |
M2(a;0) |
Рис. 22 |
Пример 5. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
Решение. Определим коэффициенты a и b
Составим искомое уравнение прямой в отрезках вида (3.9)
.
Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.
Решение. Уравнение прямой имеет вид (3.9). Определим коэффициенты a и b. Согласно условию a = b, SD = ab/2 = 8 Þ a = b = ±4, a = -4 не подходит по условию задачи.
Подставляем найденные значения a и b в формулу (3.9)
или х + у – 4 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0; y0) перпендикулярно данному ненулевому вектору (рис. 24).
O |
y |
x |
M0(x0;y0) |
M(x;y) |
Рис. 23 |
A(x - x0) + B(y - y0) = 0. (3.10)
Уравнение (3.10) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.
Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.
Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 2) перпендикулярно вектору (3; -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 общее уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итак, искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части общего уравнения прямой Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
х cosj + y sinj - p = 0, (3.11)
O |
y |
x |
Рис. 24 |
р |
j |
Уравнение вида (3.11) называется нормальным уравнением прямой.
Знак ± нормирующего множителя выбирается из условия m×С < 0.
Пример8. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
- уравнение этой прямой в отрезках:
- уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
- нормальное уравнение прямой:
;
cos j = 12/13; sin j = -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.