Прямая линия на плоскости. Основные задачи - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Угол Между Прямыми На Плоскости
O
...
Угол между прямыми на плоскости
O
a1
a2
j
j
y
x
L1
L2
Рис. 25
Рассмотрим две прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами y = k1x + b1, y = k2x + b2 (рис. 26). Требуется найти угол j, на который надо повернуть прямую L1 вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L2.
Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами a1, a2, j: a2 = a1 + j или j = a2 - a1 (j ¹ p/2). Отсюда
, или
. (3.12)
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы (3.12) берется по модулю.
Если две прямые параллельны, то j = 0 и tg j = 0. Из формулы (3.12) следует, что k1 = k2 - условие параллельности двух прямых.
Если две прямые перпендикулярны, то j = p/2. Следовательно, . Отсюда 1 + k1k2 = 0, т. е. k1k2 = -1 (или k1 = -1/k2) - условие перпендикулярности двух прямых.
Теорема 3.1. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.
Расстояние от точки до прямой
Теорема3.2. Если задана точка М0(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как
. (3.13)
M0
O
y
x
L
M1
d
Рис. 26
Доказательство. Пусть М1(х1; у1) - произвольная точка прямой L, нормальный вектор прямой имеет координаты (А; В). Определим расстояние d от точки M0 до прямой L (рис. 26)
.
Т. к. М1 Î L: Ax1 + By1 + C = 0, т. е. C = -Ax1 - By1, то
.
Теорема доказана.
Пример 9. Определить угол между прямыми: y = -3x +7; y = 2x +1.
Решение.
k1 = -3, k2 = 2, tg j = ; j = p/4.
Пример 10. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Пример 11. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты CH и уравнение CL биссектрисы, проведенной из вершины С.
По (3.8) находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты CH имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. Угловой коэффициент k = . Тогда y = . Т. к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итак, или 3x + 2y – 34 = 0.
У биссектрисы CL найдем координаты точки L. По свойству биссектрисы Вычисляя длины соответствующих векторов, находим Тогда по формуле (2.10) находим координаты точки L:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители
Феофанова Вера Александровна
Мартышенко Юлия Геннадьевна
Редактор Н. А. Чудина
Подписано в печать ___
Бумага о
Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),
Понятие обратной матрицы
Основные понятия
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу
Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1.3)
где числа aij
Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства
Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный прямолинейн
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол
Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор
Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу
Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) повор
Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14)
К
Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =
Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф
Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой
Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего
Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в за
Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор
Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1
Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z
Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в
Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый
Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется
Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены
Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор
Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матриц
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов