Угол между прямыми на плоскости
O |
a1 |
a2 |
j |
j |
y |
x |
L1 |
L2 |
Рис. 25 |
Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами a1, a2, j: a2 = a1 + j или j = a2 - a1 (j ¹ p/2). Отсюда
, или
. (3.12)
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы (3.12) берется по модулю.
Если две прямые параллельны, то j = 0 и tg j = 0. Из формулы (3.12) следует, что k1 = k2 - условие параллельности двух прямых.
Если две прямые перпендикулярны, то j = p/2. Следовательно, . Отсюда 1 + k1k2 = 0, т. е. k1k2 = -1 (или k1 = -1/k2) - условие перпендикулярности двух прямых.
Теорема 3.1. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.
Расстояние от точки до прямой
Теорема3.2. Если задана точка М0(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как
. (3.13)
M0 |
O |
y |
x |
L |
M1 |
d |
Рис. 26 |
.
Т. к. М1 Î L: Ax1 + By1 + C = 0, т. е. C = -Ax1 - By1, то
.
Теорема доказана.
Пример 9. Определить угол между прямыми: y = -3x +7; y = 2x +1.
Решение.
k1 = -3, k2 = 2, tg j = ; j = p/4.
Пример 10. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример 11. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты CH и уравнение CL биссектрисы, проведенной из вершины С.
По (3.8) находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты CH имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. Угловой коэффициент k = . Тогда y = . Т. к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итак, или 3x + 2y – 34 = 0.
У биссектрисы CL найдем координаты точки L. По свойству биссектрисы Вычисляя длины соответствующих векторов, находим Тогда по формуле (2.10) находим координаты точки L:
,
Уравнение биссектрисы . Итак, уравнение биссектрисы