Окружность

Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М₀ называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М₀М = R (Рис. 27).

Из условия М₀М = R получаем уравнение , т. е.

(x – x₀)² + (y – y₀)² = R². (3.15)

O

y

x

М0(x0,y0)

М (x,y)

Рис. 27

R

Уравнение (3.15) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если x₀ = y₀ = 0, то имеем уравнение окружности с центром в начале координат x² + y² = R². Если R = 0, то уравнению (3.15) удовлетворяют координаты единственной точки М₀(x₀,y₀) и говорят, что «окружность выродилась в точку».

Пример12. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде

2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Решение. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду (3.15). Для этого выделим полные квадраты

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0,

x² – 4x + 4 – 4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0,

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16.

Отсюда находим М₀(2; -5/4), R = 11/4.