Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой (Рис. 31).

F

y

x

M

O

Рис. 31

А

 

 

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметромпараболы. В выбранной системе фокус F имеет координаты ( , 0), а уравнение директрисы имеет вид , или .

Эксцентриситет параболы e = 1.

Пусть M(x, y) - произвольная точка параболы. Выведем каноничес­кое уравнение параболы.

Согласно определению параболы: AM = MF.

MF ² = y² + (x – p/2)², АМ ² = (x + p/2)² + (y - y)²,

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² + xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4,

т. е.

y² = 2px. (3.19)

Уравнение (3.19) называется каноническим уравнением параболы. Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM = r называется фокальным радиусом точки М.

В случае, когда ветви параболы симметричны относительно оси Oy, уравнение параболы записывают так: x² = 2py.

Пример 17. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Решение. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. Из усло­вия АМ = 4, или

АМ = x + p/2 = 4 Þ x = 2; y² = 16; y = ±4.

Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Пример 18. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(2, 8) и симметрична относительно оси Oy. Записать уравнение параболы.

Решение. Уравнение параболы имеет вид x² = 2py. Подставим координаты точки А: 2² = 2р×8 Þ р = 1/4.

Искомое уравнение: x² = .