Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду
Лемма 3.1. Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (3.14) и пусть АС - В2 ¹ 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (3.14) приводится к виду
А'х"2 + С'у"2 + F' = 0, (3.20)
где А', С', F' - некоторые числа; (х"; у") - координаты точки в новой системе координат.
Доказательство. Пусть прямоугольная система координат О'х'у' получена параллельным сдвигом осей Ох и Оу, причем начало координат перенесено в точку О'(х0; у0). Тогда старые координаты (х; у) будут связаны с новыми (х'; у') формулами (3.3)
x = х¢ + x0, y = y¢ + y0.
Тогда общее уравнение линии второго порядка (3.14) примет вид
Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + 2D'x' + 2E'y' + F' = 0, (3.21)
где
D' = Ax0 + By0 + D; E' = Bx0 + Cy0 + E;
F' = A + 2Bx0y0 + C + 2Dx0 + 2Ey0 + F.
В уравнении (3.21) коэффициенты D' и Е' обращаются в нуль, если подобрать координаты точки (х0; y0) так, чтобы выполнялись равенства
(3.22)
Так как АС - В2 ¹ 0, то система (3.22) имеет единственное решение относительно х0, у0.
Если пара чисел х0, у0 представляет собой решение системы (3.22), то уравнение (3.21) можно записать в виде
Ах'2 + 2Вх'у' + Су'2 + F' = 0. (3.23)
Пусть теперь прямоугольная система координат О'х"у" получена поворотом системы О'х'у' на угол a. Тогда координаты х', у' будут связаны с координатами х", у" формулами (3.4)
х' = х" cos a - у" sin a, у' = х" sin a + у" cos a.
В системе координат О'х"у" уравнение (3.23) принимает вид
А'х''2 + 2В'х''у'' + С'у''2 + F' = 0, (3.24)
где
А' = A cos2a + 2B cos a sin a + C sin2a;
В' = -A sin a cos a + B(cos2a - sin2a) + C sin a cos a;
С' = A sin2a - 2B cos a sin a + C cos 2a.
Выберем угол a так, чтобы коэффициент В' в уравнении (3.24) обратился в нуль.
2В cos 2a= (A - С) sin 2a.
Если А = С, то cos 2a = 0, и можно положить a = p/4.
Если же А ¹ С, то выбираем , и уравнение (3.24) принимает вид
А'х"2 + С'у"2 + F' = 0,
т. е. получили уравнение (3.20).
Инвариантность выражения АС - В2. Классификация линий второго порядка.
Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (3.14) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы 3.1, не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение АС - В2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, т. е. не зависит от преобразования координат.
Величина АС - В2 называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка. Она имеет важное значение в исследовании линий второго порядка.
В зависимости от знака величины АС - В2 линии второго порядка разделяются на следующие три типа:
1) эллиптический, если АС - В2 > 0;
2) гиперболический, если АС - В2 < 0;
3) параболический, если АС - В2 = 0.