Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
Пример 1.Вдекартовой системе координат уравнение
определяет поверхность, являющуюся сферой радиуса R с центром в начале координат.
Линию L в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей
.
Пример 2.Вдекартовой системе координат система двух уравнений
определяет окружность единичного радиуса, лежащую в плоскости z = 0 с центром в начале координат.
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение, не содержащее переменной z,
F(x, y) = 0 (4.1)
которое является уравнением некоторой поверхности в заданной системе координат.
| x |
| z |
| y |
| Рис. 34. |
| -1 |
| x |
| z |
| y |
| L |
| Рис. 33. |
| S |
Пусть в плоскости Oxy уравнение (4.1) задает некоторую линию L. Проведем через каждую точку линии L прямую параллельную оси Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S, которая называется цилиндрической (рис. 33). Указанные прямые называются образующими поверхности S, а линия L – ее направляющей.
Возьмем на цилиндрической поверхности S произвольную точку М(x,y,z), которая лежит на какой-то образующей. Координаты точки М0(x,y,z), лежащей в плоскости Oxy удовлетворяют уравнению (4.1). Поскольку уравнение (4.1) не зависит от z, то и координаты (x,y,z) точки M также удовлетворяют (4.1). Очевидно, если М(x,y,z) не лежит на S, то М0(x,y,z) не принадлежит L и координаты (x,y,z) не удовлетворяют (4.1).
Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oz не содержит переменной z и совпадает с уравнением направляющей L.
Пример 3. Уравнение является уравнением гиперболического цилиндра (рис.34).