рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Уравнение прямой в пространстве

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Пусть В Декартовой Системе Координат Уравнение Плоскости : Ур...

Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn₁ = (A₁; B₁; C₁) и n₂ = (A₂; B₂; C₂). Нормальные векторы не параллельны, т.е. не выполняется условие (4.7). Каждую прямую можно представить как пересечение плоскостей

(4.12)

Уравнение (4.12) называется общим уравнением прямой.

Для решения задач общее уравнение не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнения прямой.

Пусть какая-нибудь прямая L параллельна вектору a(l, m, n). Вектор a называется направляющим вектором данной прямой. Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющей направляющий вектор a(l, m, n).

Пусть точка M(x, y, z) – произвольная. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор = (x – x₀, y – y₀, z – z₀) параллелен направляющему вектору a(l, m, n), т. е., когда их координаты пропорциональны

(4.13)

Уравнение (4.13) называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁(x₁, y₁, z₁) следует из уравнения (4.13), если a = ,

Пример 7.Уравнение прямой задано общим уравнением

Найти каноническое уравнение прямой.

Решение. Найдем какую-нибудь точку M₀(x₀, y₀, z₀) прямой L. Полагая, например x₀ = 1, из системы

получаем y₀= 2, z₀= 1. Таким образом, точка M₀ =(1; 2; 1) прямой найдена.

Определим направляющий вектор a. Имеем нормальные векторы к плоскостям

n₁ = (3; 2; 4) и n₂ = (2; 1; −3).

Так как направляющий вектор a прямой перпендикулярен нормальным векторам, то

т. е. a(−10; 17; −1). Подставляя найденные значения в (4.13), получаем каноническое уравнение прямой

Пусть прямая L задана уравнением (4.13). Обозначая через t каждое из равных отношений. Тогда

откуда

(4.14)

Равенства (4.14) называются параметрическим уравнением прямой.

Пример 8. Пусть заданы прямая и плоскость 2x + y + z − 6 = 0. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение. Представим уравнение прямой в параметрической форме

Подставляя выражения для x, y, z в уравнение плоскости, получаем уравнение для определения параметра t

Откуда t = −1. Следовательно, x = 1, y = 2, z = 2.

Рассмотрим две прямые L₁ и L₂, заданные соответственно уравнениями

При любом расположении прямых в пространстве угол между прямыми равен углу между направляющими векторами a₁(l₁, m₁, n₁) и a₂(l₂, m₂, n₂)

(4.15)

Очевидно, что другой угол .

Условие перпендикулярности параллельности прямых совпадает с условием параллельности направляющих векторов

(4.16)

Условие параллельности прямых совпадает с условием перпендикулярности направляющих векторов

(4.17)

Найдем формулу для вычисления расстояния d от данной точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая

и точка М₁(x₁, y₁, z₁). Искомое расстояние dот точки М₁ до прямой Lявляется высотой параллелограмма (рис. 37), построенного на направляющем и векторе = (x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀).

Площадь параллелограмма S найдем через модуль векторного произведения

тогда

(4.18)

Пример 9. Найти расстояние от точки M(1;2;4) до прямой, заданной уравнением

M₀

M₁

Рис. 37.

Решение. Расстояние dот точки М₁ до прямой Lявляется высотой параллелограмма, построенного на направляющем векторе прямой a(3;2;2) и векторе

Найдем векторное произведение указанных векторов:

откуда

Расстояние d определим по формуле (4.18)

В заключении рассмотрим задачу: найти уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком прямых.

Пусть прямая задана общим уравнением (4.12). Тогда уравнение вида

при условии является уравнением пучка плоскостей.Числа вида не обращаются в нуль одновременно, иначе будет выполняться равенство (4.7), означающее параллельность плоскостей, что противоречит тому, что они в пересечении определяют прямую. Уравнение пучка плоскостей является уравнением первого порядка, т. е. уравнением плоскости. Очевидно, что координаты любой точки, лежащей на прямой, удовлетворяет уравнению пучка плоскостей.

Пример 10. Уравнение прямой задано общим уравнением

Найти уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и параллельную прямой

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей в форме:

Параметр определим из условия перпендикулярности нормального вектора n и направляющего вектора a = (3;2;−3)

откуда и уравнение искомой плоскости

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение прямой в пространстве

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.

Смешанное произведение векторов
h

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть прямая задана в канонической форме и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме Симметричная матриц