рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Комплексные числа

Комплексные числа - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия   Число I, Такое, Что I2 =−1, На...

 

Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z= a + bi число a называется действительной частью числа z, a = Re z, а bi – его мнимой частью, bi = Im z. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат. Ось абсцисс будем называть действительной осью, ось ординат – мнимой осью. Плоскость, точки которой z= (a, b) отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, пред­ставленных в виде a + bi, производятся следующим образом:

 

 

 

 

Число

 

называется сопряженным к числу z = a+ bi. Имеет место равенство

 

которое показывает, что произведение сопряженных чисел есть действительное число.

Формулу частного комплексных чисел нет необходимости запоминать, следует лишь помнить, что её можно вывести, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на число, сопряжённое знаменателю.

Действительно,

 

 

Примеры

1)

2)

Пусть даны числа z1= a + bi и z2= с + di, каждому комплексному числу сопоставим соответственно вектор с координатами (a, b) и (с, d) на комплексной плоскости. Очевидно, что сумме z1+ z2 соответствует вектор с координатами (a+с, b+d), который определяется по правилу параллело­грамма, т. е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала коорди­нат (рис. 46).

 

Im z
Re z
z1 + z2
z1
z2
Рис. 46
a
b
z
r
j
Im z
Re z
a
b
Рис. 47  

 

Положение точки на плоскости вполне определяется полярными коорди­натами: расстоянием r от начала координат до точки и углом j ме­жду положительным направлением оси абсцисс и вектором, соответствую­щим комплексному числу (рис. 47). Между декартовыми и полярными координатами точки плоскости существует связь:

 

Число z= a + bi­ в тригонометрической форме имеет вид:

(5.1)

Число r называется модулем числа z и обозначается . Угол j называется аргументом числа z и обозначается . Угол j может принимать любые действительные значения, если углы отличаются друг от друга на число кратное , то соответствующие комплексные числа совпадают.

Пусть комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:

 

Перемножим эти числа:

(5.2)

Получили запись произведения z1z2 в тригонометрической форме, поэтому

 

т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Аналогичные правила имеют место и для частного. Действительно, пусть причем

 

(5.3)

 

Отсюда следует, что

 

т. е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Т. к. то откуда вообще

При целом положительном n из формулы (5.2) следует формула Муавра

(5.4)

Заметим, что легко найти по формуле (5.3), действительно

(5.5)

Формула (5.4) верна и для целых отрицательных показателей, ввиду соотношения

Примеры

1) Вычислить

Решение. Число находится в первом квадранте, модуль числа , поэтому аргумент . По формуле Муавра имеем:

 

2) Вычислить

Решение. Число находится в четвертом квадранте, модуль числа , аргумент . По формуле (5.5) имеем:

 

Применяя формулу Муавра, получаем

 

3)

4)

5)

Получим формулу корня n-ой степени из числа . Предположим, что корень существует и имеет форму , тогда по формуле Муавра

 

Откуда

 

Получили n различных корней:

 

(5.6)

 

Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делит эту окружность на n равных частей (рис. 48).

 

Im z
Re z
p/3
w1
w2
w3
w4
w5
w0
Рис. 48

Примеры

1) Найти корни уравнения

Решение. Число находится во втором квадранте, поэтому правая часть в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим три корня уравнения.

 

 

 

 

2) Найти корни уравнения

Решение. Число −8 в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим три корня уравнения.

 

 

 

 

3) Найти корни уравнения

Решение. Число i в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим два корня уравнения.

 

 

 

Имеет место следующий важный результат:

Всякий многочлен степени n, c любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Комплексные числа

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
  Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h    

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Определение линейного пространства. Изоморфизм
  Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме   Симметричная матриц

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги