Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z= a + bi число a называется действительной частью числа z, a = Re z, а bi – его мнимой частью, bi = Im z. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат. Ось абсцисс будем называть действительной осью, ось ординат – мнимой осью. Плоскость, точки которой z= (a, b) отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, представленных в виде a + bi, производятся следующим образом:
Число
называется сопряженным к числу z = a+ bi. Имеет место равенство
которое показывает, что произведение сопряженных чисел есть действительное число.
Формулу частного комплексных чисел нет необходимости запоминать, следует лишь помнить, что её можно вывести, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на число, сопряжённое знаменателю.
Действительно,
Примеры
1)
2)
Пусть даны числа z1= a + bi и z2= с + di, каждому комплексному числу сопоставим соответственно вектор с координатами (a, b) и (с, d) на комплексной плоскости. Очевидно, что сумме z1+ z2 соответствует вектор с координатами (a+с, b+d), который определяется по правилу параллелограмма, т. е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат (рис. 46).
| Im z |
| Re z |
| z1 + z2 |
| z1 |
| z2 |
| Рис. 46 |
| a |
| b |
| z |
| r |
| j |
| Im z |
| Re z |
| a |
| b |
| Рис. 47 |
Положение точки на плоскости вполне определяется полярными координатами: расстоянием r от начала координат до точки и углом j между положительным направлением оси абсцисс и вектором, соответствующим комплексному числу (рис. 47). Между декартовыми и полярными координатами точки плоскости существует связь:
Число z= a + bi в тригонометрической форме имеет вид:
(5.1)
Число r называется модулем числа z и обозначается . Угол j называется аргументом числа z и обозначается . Угол j может принимать любые действительные значения, если углы отличаются друг от друга на число кратное , то соответствующие комплексные числа совпадают.
Пусть комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:
Перемножим эти числа:
(5.2)
Получили запись произведения z1z2 в тригонометрической форме, поэтому
т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
Аналогичные правила имеют место и для частного. Действительно, пусть причем
(5.3)
Отсюда следует, что
т. е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.
Т. к. то откуда вообще
При целом положительном n из формулы (5.2) следует формула Муавра
(5.4)
Заметим, что легко найти по формуле (5.3), действительно
(5.5)
Формула (5.4) верна и для целых отрицательных показателей, ввиду соотношения
Примеры
1) Вычислить
Решение. Число находится в первом квадранте, модуль числа , поэтому аргумент . По формуле Муавра имеем:
2) Вычислить
Решение. Число находится в четвертом квадранте, модуль числа , аргумент . По формуле (5.5) имеем:
Применяя формулу Муавра, получаем
3)
4)
5)
Получим формулу корня n-ой степени из числа . Предположим, что корень существует и имеет форму , тогда по формуле Муавра
Откуда
Получили n различных корней:
(5.6)
Таким образом, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делит эту окружность на n равных частей (рис. 48).
| Im z |
| Re z |
| p/3 |
| w1 |
| w2 |
| w3 |
| w4 |
| w5 |
| w0 |
| Рис. 48 |
Примеры
1) Найти корни уравнения
Решение. Число находится во втором квадранте, поэтому правая часть в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим три корня уравнения.
2) Найти корни уравнения
Решение. Число −8 в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим три корня уравнения.
3) Найти корни уравнения
Решение. Число i в тригонометрической форме имеет вид: . По формуле (5.6) находим два корня уравнения.
Имеет место следующий важный результат:
Всякий многочлен степени n, c любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.