Реферат Курсовая Конспект
Определение линейного пространства. Изоморфизм - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Первыми Примерами Векторных Пространств Являются Совокупности...
|
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца вектора, т.е. упорядоченной системой чисел. В векторной алгебре определены операции сложения векторов и умножения на скаляр независимо от выбора системы координат.
Приведём аксиоматическое определение линейного (векторного или аффинного пространства).
Определение. Пусть дано множество V; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: a,b,c,…. Пусть, далее, в множестве V однозначно определены операция сложения и операция умножения на действительное число. Элементы множества V будут называться векторами, а само V – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами:
1. Сложение коммутативно, a + b = b + a.
2. Сложение ассоциативно, (a + b) + с = a + (b +с).
3. В V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: a + 0 = a для всех a из V.
4. Для всякого элемента a из V существует противоположный элемент – a, удовлетворяющий условию a + (− a) = 0.
5. для любого действительного числа .
6. для любых действительных чисел и
7. для любых действительных чисел и
8. для действительного числа 1.
Пример 1. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n образует линейное пространство. Сумма двух таких многочленов и произведение многочлена на действительное число есть многочлен порядка не выше n. В качестве нулевого вектора берется многочлен нулевого порядка, равный нулю, в качестве противоположного вектора − многочлен с противоположными коэффициентами. Очевидно, что выполняются остальные алгебраические условия 1−8.
Пример 2. Покажем, что линейным пространством будет множество всевозможных действительных функций действительного аргумента. Если сложение функций и их умножение на число понимать так, как это принято в теории функций, т.е. как сложение или умножение на число значений функции при каждом значении независимого переменного, то, очевидно, сумма двух функций и произведение функции на действительное число есть функция. В качестве нулевого вектора берется функция, равная нулю, в качестве противоположного вектора – противоположная функция. Очевидно, что в теории функций выполняются остальные условия 1−8.
В определении линейного пространства указываются только свойства операций над векторами, но ничего не говорится о свойствах самих векторов. Может случиться, что хотя векторы некоторых двух данных линейных пространств по своей природе различны, однако с точки зрения свойств операций эти два линейных пространства неразличимы.
Определение. Два действительные линейные пространства V и V¢ называются изоморфными, если между его векторами установлено взаимно однозначное соответствие, если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,
(6.1)
и образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число,
(6.2)
Пример 3. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n изоморфно пространству строк длины n. Каждому многочлену поставим в соответствие строку , составленную из коэффициентов многочлена, и обратно. Указанное соответствие удовлетворяют условиям изоморфизма (6.1) и (6.2), так как
Определение. Линейное пространство V называется конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов; всякая такая система будет называться базисом пространства V.
Пусть линейное пространство V обладает базисом
cостоящим из n векторов. Если a – произвольный вектор из V, то из максимальной независимости векторов базиса следует, что a линейно выражается в виде линейной комбинации через векторы базиса:
Всякому вектору a однозначно соответствует строка
Таким образом, имеет место следующая теорема:
Теорема 6.1. Всякое линейное пространство, обладающее базисом из nвекторов, изоморфно n-мерному векторному пространству строк.
Пусть в n-мерном векторном пространстве заданы два базиса
(6.3)
(6.4)
Каждый вектор базиса (6.4), однозначно записывается через базис (6.3)
(6.5)
Матрица
называется матрицей перехода от базиса (6.3) к базису (6.4).
В матричной форме (6.5) принимает вид
где − вектор-столбец, состоящий из векторов базиса.
С другой стороны, если
(6.6)
с матрицей перехода от базиса (6.4) к базису (6.3), то
откуда
,
Из последних равенств можно сделать вывод, что матрица перехода от одной базы линейного пространства к другой является невырожденной.
Найдем связь между строками координат произвольного вектора a в разных базах (6.3), (6.4). Пусть
(6.7)
Используя (6.5), получаем:
Сопоставляя с первым соотношением (6.7), получаем:
,
т. е. в развернутом виде имеем матричное равенство
. (6.8)
Из (6.8) следует
(6.9)
Пример 4. Пусть вектор a в базисе e имеет разложение:
Найти разложение вектора в базисе
Решение.Матрицей перехода служит матрица
,
откуда
.
По формуле (6.9) получаем:
т. е.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение линейного пространства. Изоморфизм
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов