рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение линейного пространства. Изоморфизм

Определение линейного пространства. Изоморфизм - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия   Первыми Примерами Векторных Пространств Являются Совокупности...

 

Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца вектора, т.е. упо­рядоченной системой чисел. В векторной алгебре определены операции сложения векторов и умножения на скаляр независимо от выбора системы координат.

Приведём аксиоматическое определение линейного (векторного или аффинного пространства).

Определение. Пусть дано множество V; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: a,b,c,…. Пусть, далее, в множестве V однозначно определены операция сложения и операция умножения на действительное число. Элементы множества V будут называться векторами, а само Vдействительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами:

1. Сложение коммутативно, a + b = b + a.

2. Сложение ассоциативно, (a + b) + с = a + (b +с).

3. В V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: a + 0 = a для всех a из V.

4. Для всякого элемента a из V существует противоположный элемент – a, удовлетворяющий условию a + (− a) = 0.

5. для любого действительного числа .

6. для любых действительных чисел и

7. для любых действительных чисел и

8. для действительного числа 1.

 

Пример 1. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n образует линейное пространство. Сумма двух таких многочленов и произведение многочлена на действительное число есть многочлен порядка не выше n. В качестве нулевого вектора берется многочлен нулевого порядка, равный нулю, в качестве противоположного вектора − многочлен с противоположными коэффициентами. Очевидно, что выполняются остальные алгебраические условия 1−8.

Пример 2. Покажем, что линейным пространством будет множество всевозможных действительных функций действительного аргумента. Если сложение функций и их умножение на число понимать так, как это принято в теории функций, т.е. как сложение или умножение на число значений функции при каждом значении независимого переменного, то, очевидно, сумма двух функций и произведение функции на действительное число есть функция. В качестве нулевого вектора берется функция, равная нулю, в качестве противоположного вектора – противоположная функция. Очевидно, что в теории функций выполняются остальные условия 1−8.

В определении линейного пространства указываются только свойства операций над векторами, но ничего не говорится о свойствах самих векторов. Может случиться, что хотя векторы некоторых двух данных линейных пространств по своей природе различны, однако с точки зрения свойств операций эти два линейных пространства неразличимы.

Определение. Два действительные линейные пространства V и V¢ называются изоморфными, если между его векторами установлено взаимно однозначное соответствие, если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,

(6.1)

и образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число,

(6.2)

 

Пример 3. Покажем, что множество многочленов порядка не выше n изоморфно пространству строк длины n. Каждому многочлену поставим в соответствие строку , составленную из коэффициентов многочлена, и обратно. Указанное соответствие удовлетворяют условиям изоморфизма (6.1) и (6.2), так как

 

 

Определение. Линейное пространство V называется конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов; всякая такая система будет называться базисом пространства V.

Пусть линейное пространство V обладает базисом

 

cостоящим из n векторов. Если a – произвольный вектор из V, то из максимальной независимости векторов базиса следует, что a линейно выражается в виде линейной комбинации через векторы базиса:

 

Всякому вектору a однозначно соответствует строка

 

Таким образом, имеет место следующая теорема:

Теорема 6.1. Всякое линейное пространство, обладающее базисом из nвекторов, изоморфно n-мерному векторному пространству строк.

 

Пусть в n-мерном векторном пространстве заданы два базиса

(6.3)

(6.4)

Каждый вектор базиса (6.4), однозначно записывается через базис (6.3)

(6.5)

Матрица

 

называется матрицей перехода от базиса (6.3) к базису (6.4).

В матричной форме (6.5) принимает вид

 

где − вектор-столбец, состоящий из векторов базиса.

С другой стороны, если

(6.6)

с матрицей перехода от базиса (6.4) к базису (6.3), то

 

откуда

,

Из последних равенств можно сделать вывод, что матрица перехода от одной базы линейного пространства к другой является невырожденной.

Найдем связь между строками координат произвольного вектора a в разных базах (6.3), (6.4). Пусть

(6.7)

Используя (6.5), получаем:

 

Сопоставляя с первым соотношением (6.7), получаем:

,

т. е. в развернутом виде имеем матричное равенство

. (6.8)

Из (6.8) следует

(6.9)

Пример 4. Пусть вектор a в базисе e имеет разложение:

 

Найти разложение вектора в базисе

 

Решение.Матрицей перехода служит матрица

,

откуда

.

По формуле (6.9) получаем:

 

т. е.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение линейного пространства. Изоморфизм

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
  Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h    

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
  Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме   Симметричная матриц

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги