Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый вектор этого же пространства.
Определение. Преобразование L линейного пространства Vn
называется линейным преобразованием этого пространства, если оно переводит сумму любых двух векторов aи bв сумму образов этих векторов, а произведение любого вектора aна любое число переводит в произведение образа вектора aна это же число,
Из этого определения вытекает, что линейное преобразование переводит любую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов,
(6.10)
Заметим, что .
Пусть линейное пространство V обладает базисом
cостоящим из n векторов. Если a – произвольный вектор из V, то a однозначно выражается в виде линейной комбинации через векторы базиса:
В силу (6.10) имеем
Из последнего соотношения следует, что всякое линейное преобразование L линейного пространства Vn однозначно определяется заданием образов
всех векторов фиксированной базы.
Пусть вектора , тогда матрица задает линейное преобразование L в базисе
Имеет место взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями n-мерного линейного пространства и всеми квадратными матрицами A порядка n.
Говорят, что матрица A есть матрица линейного преобразования L.
Зная матрицу Aлинейного преобразования Lв базисе (6.3), по координатам вектора aв этом базисе, легко определить координаты его образа.
(6.11)
где − вектор-столбец, состоящий из векторов базиса.
Установим связь между матрицами линейного преобразования L в разных базисах. Пусть известна матрица перехода от одного базиса к другому и матрицы линейного преобразования в этих базисах.
Тогда
Однако
т. е.
Ввиду невырожденности матрицы перехода T,
(6.12)
Матрицы C и B называются подобными, если они связаны равенством
Из равенства (6.12) следует, что матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, подобны между собой.