рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Характеристические корни и собственные значения

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Характеристические корни и собственные значения

Характеристические корни и собственные значения - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Пусть А − Квадратная Матрица Порядка N С Действительными ...

Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется характеристической матрицей матрицы А. Определитель характеристической матрицы

будет многочленом степени n относительно .

Определение. Многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни называются характеристическими корнями этой матрицы.

Покажем, что подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами.

Пусть тогда

Из этого результата вытекает, что хотя линейное преобразование в разных базисах может задаваться различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических чисел.

Определение. Пусть в линейном действительном пространствеV_n задано линейное преобразование L. Если вектор b, отличный от нуля, переводится преобразованием L в пропорциональный вектор,

где − некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором преобразования L, а число − собственным значением этого преобразования.

Пусть собственный вектор b

соответствует собственному значению с матрицей преобразования А.

Тогда из (6.11) находим:

Откуда

Система линейных однородных уравнений

(6.13)

обладает ненулевым решением, поэтому ее определитель равен нулю. Транспонируя матрицу определителя, получаем

Собственное значение на самом деле оказалось характеристическим корнем матрицы А.

Систему (6.13) для определения координат собственного вектора b можно представить в более компактной форме

(6.14)

Во многих приложениях необходимо знать, может ли данное линейное преобразование в некоторой базе иметь диагональную матрицу.

Пусть А − такое преобразование, а e₁,e_{2, …},e_n− его линейно независимые собственные векторы, т. е.

Примем e₁,e_{2, …},e_n за базис, тогда матрица преобразования А в этом базисе имеет вид

Имеет место теорема.

Теорема 6.2. Матрица линейного преобразования Lбудет диагональной, тогда и только тогда, если все векторы базиса являются собственными векторами преобразованияL.

Отметим, что собственные векторы, линейного преобразования, относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему.

Говорят, что линейное преобразование L действительного линейного пространства V_n имеет простой спектр, если все его характеристические корни действительны и различны. Приведём следующий важный результат:

Всякая матрица линейного преобразования с простым спектром подобна диагональной матрице.

Пример 5.Найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования трехмерного пространства с матрицей A

Решение. Составим характеристический многочлен матрицы А и найдем его корни.

Характеристические корни: ,

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

Ранг матрицы коэффициентов равен двум, поэтому система

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: , если положить то . Получили собственный вектор

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

Система

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: если положить то . Получили собственный вектор

Найдем собственный вектор, соответствующий , из системы (6.14):

Система

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: если положить то . Получили собственный вектор

Отметим, что все собственные векторы линейно независимы, так как характеристические корни являются действительными и различными.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Характеристические корни и собственные значения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.

Смешанное произведение векторов
h

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть прямая задана в канонической форме и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме Симметричная матриц