Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярное произведение. Линейное пространство оказалось беднее понятиями и свойствами, чем наше обыкновенное пространство, в нем не нашли отражения такие понятия, как длина отрезка, величина угла, скалярное произведение.
В любом n-мерном линейном пространстве аксиоматически определим, при помощи некоторых свойств, скалярное произведение векторов.
Определение. Будем говорить, что в n-мерном действительном линейном пространстве определено скалярное произведение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (a,b), называемое скалярным произведением векторов a,b, если выполняются условия:
1) (a, b) = (b, a),
2) (a + b,с)= (a,с) + (b,с),
3) ( a, b) = (a, b),
4) (a, a) > 0, если
Длиной вектора a называется величина
Определение. Если в n-мерном действительном линейном пространстве определено скалярное произведение, то это пространство En называется n-мерным евклидовым пространством.
При любом n в n-мерном линейном пространстве можно определить скалярное произведение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово. Действительно, возьмём в линейном пространстве Vn любой базис
Если
то положим
(7.1)
Легко проверить, что условия 1)−4) будут выполнены, т.е. равенство (7.1) в пространстве Vn определяет скалярное произведение.
Векторы a, b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,
(a, b) = 0.
Из определения n-мерного линейного евклидова пространства следует существование линейно независимой системы из n векторов
.
Рассмотрим процесс ортогонализации, т.е. процесс получения ортогональной системы из системы .
1) Положим
2) Вектор будем искать в виде
.
Неизвестный коэффициент определяется из условия ортогональности (b1, b2) = 0.
3) Вектор будем искать в виде
.
Неизвестные коэффициенты , определяется из условий ортогональности (b1, b3) = 0, (b2, b3) = 0.
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .
Назовем вектор e нормированным, если его скалярный квадрат равен единице,
(e, e) = 1.
Из любого вектора b, отличного от нуля, нормированием, т.е. переходом к вектору
(7.2)
получают нормированный вектор, длина которого
Определение. Базис n-мерного евклидового пространства называется ортонормированным, если он ортогонален, а все его вектора нормированы.
Можно сделать вывод, что всякое евклидовое пространство обладает ортонормированным базисом.
Для скалярного произведения двух векторов евклидова пространства
заданных в ортонормированном базисе, имеет место формула
откуда
Пример 1. Система векторов
является базисом пространства E3. Построить ортонормированную базу.
Решение. Применим процесс ортогонализации. Положим
Вектор будем искать в виде
,
Получили
Вектор будем искать в виде
,
Получили
Нормируя векторы, найдем базис
Пример 2. Будем считать векторами многочлены от x степени не выше второй. Скалярное произведение векторов определим как определенный интеграл их произведения
Найти ортогональный базис.
Решение.Векторы 1, x, x2 образуют базис. Применим к этому базису процесс ортогонализации.
Положим Вектор будем искать в виде
Получили Вектор будем искать в виде
,
Получили