рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определители

Определители - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия   Для Квадратных Матриц Существует Специальная Числовая Характе...

 

Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D), определяется следующим образом:

1. Определитель квадратной матрицы 1-го порядка

А = (а1), det A = a1;

2. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка

, .

Вычисление определителя 2-го порядка можно проиллюстрировать схемой

 

 

где произведение элементов главной диагонали берется со знаком «+», а произведение элементов побочной (или второй) диагонали - со знаком «-»;

3. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка

 

 

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так

 

 

Пример7. Вычислить определитель матрицы А

 

 

Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей n-го порядка.

1°. Определитель не изменится, если его столбцы заменить строками, и наоборот.

Сформулированное свойство устанавливает равноправие столбцов и строк определителя.

2°. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

3°. Определитель, элементы столбца (строки) которого равны соответствующим элементам другого столбца (строки), равен нулю.

4°. Общий множитель элементов столбца (строки) определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы столбца (строки) пропорциональны соответствующим элементам другого столбца (строки), то такой определитель равен нулю.

5°. Если элементы какого-либо столбца (строки) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

.

6°. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любое число.

Пример 8. Доказать, что

 

Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим

 

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается Mij.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j - четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij,

Aij = (-1)i+jMij.

При этом полезно иметь в виду схему

,

где знаки «+» или «-» чередуются, ими помечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам или отличаются от них знаком.

7°. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого столбца (строки) на соответствующие им алгебраические дополнения

det A = , i = 1, 2, …, n.

Докажем свойство 7 на примере определителя 3-го порядка

.

В самом деле, имеем

 

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) = det A.

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример 9. Вычислите определитель матрицы

.

Решение. Для разложения определителя выберем третий стол­бец, поскольку он содержит нулевой элемент.

 

 

=

= -1(0 + 6 + 6 - 2 - (-9) -0) - 2(6 + 18 + 6 - 2 - (-27) - (-12)) -

- (6 + 0 + (-9) - (-3) - 0 - 2) = -151.

8°. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного столбца (строки) равна нулю.

Так, например, a11A21 + a12A22 + a13A23 = 0.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определители

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h    

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
  Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
  Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме   Симметричная матриц

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги