Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D), определяется следующим образом:
1. Определитель квадратной матрицы 1-го порядка
А = (а1), det A = a1;
2. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка
, .
Вычисление определителя 2-го порядка можно проиллюстрировать схемой
где произведение элементов главной диагонали берется со знаком «+», а произведение элементов побочной (или второй) диагонали - со знаком «-»;
3. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так
Пример7. Вычислить определитель матрицы А
Свойства определителей.
Сформулируем основные свойства определителей n-го порядка.
1°. Определитель не изменится, если его столбцы заменить строками, и наоборот.
Сформулированное свойство устанавливает равноправие столбцов и строк определителя.
2°. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
3°. Определитель, элементы столбца (строки) которого равны соответствующим элементам другого столбца (строки), равен нулю.
4°. Общий множитель элементов столбца (строки) определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы столбца (строки) пропорциональны соответствующим элементам другого столбца (строки), то такой определитель равен нулю.
5°. Если элементы какого-либо столбца (строки) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
.
6°. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любое число.
Пример 8. Доказать, что
Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим
.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j - четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij,
Aij = (-1)i+jMij.
При этом полезно иметь в виду схему
,
где знаки «+» или «-» чередуются, ими помечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам или отличаются от них знаком.
7°. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого столбца (строки) на соответствующие им алгебраические дополнения
det A = , i = 1, 2, …, n.
Докажем свойство 7 на примере определителя 3-го порядка
.
В самом деле, имеем
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) = det A.
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 9. Вычислите определитель матрицы
.
Решение. Для разложения определителя выберем третий столбец, поскольку он содержит нулевой элемент.
=
= -1(0 + 6 + 6 - 2 - (-9) -0) - 2(6 + 18 + 6 - 2 - (-27) - (-12)) -
- (6 + 0 + (-9) - (-3) - 0 - 2) = -151.
8°. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного столбца (строки) равна нулю.
Так, например, a11A21 + a12A22 + a13A23 = 0.