Симметрические преобразования - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Определение. Линейное Преобразование A Евклидова Пространства E...
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства Enназывается симметрическим (или самосопряженным)преобразованием, если для любых векторов a и b имеет место равенство
(7.7)
Примером симметрического преобразования является линейное преобразование, при котором всякий вектор умножается на фиксированное число
Теорема7.3. Симметрическое преобразование Aевклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается симметричной матрицей. Обратно, если линейное преобразование пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается симметричной матрицей, то это преобразование симметрическое.
Доказательство. Пусть симметрическое преобразование евклидова пространства в ортонормированном базисе e1,e2,…, en задается матрицей . Тогда
т. е., в виду (7.7)
Матрица A, таким образом, оказалась симметричной.
Обратно, линейное преобразование евклидова пространства в ортонормированном базисе e1, e2,…, enзадаетсясимметричной матрицей.
Пусть
тогда
Используя ортонормированность базиса, получаем
Правые части совпадают, и поэтому
тем самым теорема доказана.
Теорема7.4. Все характеристические корни симметрической матрицы действительны.
Доказательство. Пусть А − симметричная квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − характеристический корень (быть может, комплексный) матрицы . Тогда характеристический корень удовлетворяет системе однородных уравнений
где собственный вектор
соответствует собственному значению с матрицей преобразования А.
Умножая обе части каждого равенства на число, сопряженное с и складывая все равенства, имеем:
Коэффициент при есть действительное число, как сумма произведений сопряженных чисел. Чтобы доказать действительность числа достаточно показать, что оно совпадает с сопряженным
При доказательстве воспользовались действительностью и симметричностью матрицы A. В результате получили
т.е. есть действительное число.
Теорема7.5. Собственные векторы симметрического преобразования A, относящиеся к различным собственным значениям, между собой ортогональны.
Доказательство. Пусть
Т. к.
из определения симметрического преобразования
следует
или, ввиду , получаем (a,b) = 0, что и требовалось доказать.
Пусть существует ортонормированный базис линейного преобразования A из собственных векторов
Примем e1,e2, …,en за базис, тогда матрица преобразования А в этом базисе имеет диагональный вид
т.е. преобразование Aявляется симметричным.
В заключении отметим, что линейное преобразование евклидова пространства, тогда и только тогда, будет симметричным, если в пространстве существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого преобразования.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Симметрические преобразования
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители
Феофанова Вера Александровна
Мартышенко Юлия Геннадьевна
Редактор Н. А. Чудина
Подписано в печать ___
Бумага о
Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),
Понятие обратной матрицы
Основные понятия
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу
Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1.3)
где числа aij
Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства
Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный прямолинейн
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол
Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор
Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу
Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) повор
Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14)
К
Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =
Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф
Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой
Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего
Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в за
Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор
Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1
Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z
Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в
Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый
Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется
Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены
Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матриц
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов