Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых векторов a и b имеет место равенство
(7.7)
Примером симметрического преобразования является линейное преобразование, при котором всякий вектор умножается на фиксированное число
Теорема7.3. Симметрическое преобразование Aевклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается симметричной матрицей. Обратно, если линейное преобразование пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается симметричной матрицей, то это преобразование симметрическое.
Доказательство. Пусть симметрическое преобразование евклидова пространства в ортонормированном базисе e1,e2,…, en задается матрицей . Тогда
т. е., в виду (7.7)
Матрица A, таким образом, оказалась симметричной.
Обратно, линейное преобразование евклидова пространства в ортонормированном базисе e1, e2,…, en задается симметричной матрицей.
Пусть
тогда
Используя ортонормированность базиса, получаем
Правые части совпадают, и поэтому
тем самым теорема доказана.
Теорема7.4. Все характеристические корни симметрической матрицы действительны.
Доказательство. Пусть А − симметричная квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − характеристический корень (быть может, комплексный) матрицы . Тогда характеристический корень удовлетворяет системе однородных уравнений
где собственный вектор
соответствует собственному значению с матрицей преобразования А.
Умножая обе части каждого равенства на число, сопряженное с и складывая все равенства, имеем:
Коэффициент при есть действительное число, как сумма произведений сопряженных чисел. Чтобы доказать действительность числа достаточно показать, что оно совпадает с сопряженным
При доказательстве воспользовались действительностью и симметричностью матрицы A. В результате получили
т.е. есть действительное число.
Теорема7.5. Собственные векторы симметрического преобразования A, относящиеся к различным собственным значениям, между собой ортогональны.
Доказательство. Пусть
Т. к.
из определения симметрического преобразования
следует
или, ввиду , получаем (a,b) = 0, что и требовалось доказать.
Пусть существует ортонормированный базис линейного преобразования A из собственных векторов
Примем e1,e2, …,en за базис, тогда матрица преобразования А в этом базисе имеет диагональный вид
т.е. преобразование Aявляется симметричным.
В заключении отметим, что линейное преобразование евклидова пространства, тогда и только тогда, будет симметричным, если в пространстве существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого преобразования.