рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Положительно определенные формы

Положительно определенные формы - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Рассмотрим Квадратичную Форму Трех Переменных (7.8) Которую...

Рассмотрим квадратичную форму трех переменных

(7.8)

которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме

 

Симметричная матрица A в некотором ортонормированном базисе e1, e2, e3 определяет симметрическое преобразование. Как известно, существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов данного преобразования, в котором преобразование задается диагональной матрицей.

Из теоремы 7.2 следует, что матрицей перехода от базиса eк базису e' служит ортогональная матрица Q.Пусть

 

тогда между строками координат произвольного вектора в разных базисах имеет место связь

 

 

Представим квадратичную форму (7.8) в базисе :

 

Если ортонормированный базис e' состоит из собственных векторов симметрического преобразования, то

 

и

(7.9)

Говорят, что квадратичную форму привели к каноническому виду (7.9).

Таким образом, получили теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

Теорема7.6. Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к канонической форме. Коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.

Пример3. Привести квадратичную форму к каноническому виду

 

указать при этом соответствующий ортонормированный базис.

Решение. Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме

.

Найдем характеристические корни матрицы A

 

 

Получили

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений

 

Система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений

 

Система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор

Аналогично находим собственный вектор

Собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, и потому ортогональны. Нормируя собственные вектора, получаем ортонормированный базис

(7.10)

в котором квадратичная форма имеет канонический вид

 

Матрицей перехода в (7.10) служит

.

Тогда

 

Заметим, к примеру, что в декартовой системе координат с осями вдоль базиса e уравнение поверхности

 

приводится к уравнению гиперболического цилиндра

 

в базисе (7.10) посредством ортогонального преобразования с матрицей Q.

Пример 4.Привести к каноническому виду уравнение поверхности

 

заданную в декартовой системе координат. Ууказать соответствующий ортонормированный базис.

Решение. Квадратичной форме

 

соответствует симметрическая матрица

.

Найдем характеристические корни матрицы A

 

Получили

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям из системы однородных уравнений

 

Система

 

имеет бесконечно много решений. Подберём независимые собственные векторы

 

Применим процесс ортогонализации. Положим

 

Вектор с2 будем искать в виде

,

 

Получили

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений

 

Система

 

имеет бесконечно много решений.

Решение системы: если положить то Получили собственный вектор

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Нормируя полученные ортогональные векторы, получаем ортонормированный базис

(7.11)

в котором квадратичная форма имеет канонический вид

 

Уравнение поверхности

 

приводится к каноническому уравнению двуполостного гиперболоида

 

в базисе (7.11) .

В случае n переменных квадратичную форму можно записать в виде

(7.12)

Определение. Квадратичная форма от n переменных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих переменных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.

Очевидно, что квадратичная форма от n переменных, тогда и только тогда, будет положительно определенной, если она приводится к каноническому виду, состоящему из n квадратов с положительными коэффициентами.

Следующая теорема дает возможность охарактеризовать квадратичные формы, не приводя их к каноническому виду.

Теорема 7.7(критерий Сильвестера). Квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.

Пример 5. Является ли форма

 

положительно определенной?

Решение.Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме

.

Найдем главные миноры матрицы A:

 

В силу критерия Сильвестера квадратичная форма не является положительно определенной.

Приводя квадратичную форму (7.12) к каноническому виду, можно поразному выбирать базис. Поэтому возникает вопрос: количество положительных коэффициентов и отрицательных зависит от выбора базиса или нет? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 7.8(закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами приведена двумя различными способами к каноническому виду то, число положительных коэффициентов и отрицательных в обоих случаях одно и то же.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Положительно определенные формы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
  Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h    

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1 a2

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
  Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
  Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги