Реферат Курсовая Конспект
Положительно определенные формы - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия Рассмотрим Квадратичную Форму Трех Переменных (7.8) Которую...
|
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матрица A в некотором ортонормированном базисе e1, e2, e3 определяет симметрическое преобразование. Как известно, существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов данного преобразования, в котором преобразование задается диагональной матрицей.
Из теоремы 7.2 следует, что матрицей перехода от базиса eк базису e' служит ортогональная матрица Q.Пусть
тогда между строками координат произвольного вектора в разных базисах имеет место связь
Представим квадратичную форму (7.8) в базисе :
Если ортонормированный базис e' состоит из собственных векторов симметрического преобразования, то
и
(7.9)
Говорят, что квадратичную форму привели к каноническому виду (7.9).
Таким образом, получили теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
Теорема7.6. Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к канонической форме. Коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.
Пример3. Привести квадратичную форму к каноническому виду
указать при этом соответствующий ортонормированный базис.
Решение. Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме
.
Найдем характеристические корни матрицы A
Получили
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор
Аналогично находим собственный вектор
Собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, и потому ортогональны. Нормируя собственные вектора, получаем ортонормированный базис
(7.10)
в котором квадратичная форма имеет канонический вид
Матрицей перехода в (7.10) служит
.
Тогда
Заметим, к примеру, что в декартовой системе координат с осями вдоль базиса e уравнение поверхности
приводится к уравнению гиперболического цилиндра
в базисе (7.10) посредством ортогонального преобразования с матрицей Q.
Пример 4.Привести к каноническому виду уравнение поверхности
заданную в декартовой системе координат. Ууказать соответствующий ортонормированный базис.
Решение. Квадратичной форме
соответствует симметрическая матрица
.
Найдем характеристические корни матрицы A
Получили
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений. Подберём независимые собственные векторы
Применим процесс ортогонализации. Положим
Вектор с2 будем искать в виде
,
Получили
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: если положить то Получили собственный вектор
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Нормируя полученные ортогональные векторы, получаем ортонормированный базис
(7.11)
в котором квадратичная форма имеет канонический вид
Уравнение поверхности
приводится к каноническому уравнению двуполостного гиперболоида
в базисе (7.11) .
В случае n переменных квадратичную форму можно записать в виде
(7.12)
Определение. Квадратичная форма от n переменных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих переменных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.
Очевидно, что квадратичная форма от n переменных, тогда и только тогда, будет положительно определенной, если она приводится к каноническому виду, состоящему из n квадратов с положительными коэффициентами.
Следующая теорема дает возможность охарактеризовать квадратичные формы, не приводя их к каноническому виду.
Теорема 7.7(критерий Сильвестера). Квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.
Пример 5. Является ли форма
положительно определенной?
Решение.Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме
.
Найдем главные миноры матрицы A:
В силу критерия Сильвестера квадратичная форма не является положительно определенной.
Приводя квадратичную форму (7.12) к каноническому виду, можно поразному выбирать базис. Поэтому возникает вопрос: количество положительных коэффициентов и отрицательных зависит от выбора базиса или нет? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 7.8(закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами приведена двумя различными способами к каноническому виду то, число положительных коэффициентов и отрицательных в обоих случаях одно и то же.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Положительно определенные формы
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов