Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матрица A в некотором ортонормированном базисе e1, e2, e3 определяет симметрическое преобразование. Как известно, существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов данного преобразования, в котором преобразование задается диагональной матрицей.
Из теоремы 7.2 следует, что матрицей перехода от базиса eк базису e' служит ортогональная матрица Q.Пусть
тогда между строками координат произвольного вектора в разных базисах имеет место связь
Представим квадратичную форму (7.8) в базисе :
Если ортонормированный базис e' состоит из собственных векторов симметрического преобразования, то
и
(7.9)
Говорят, что квадратичную форму привели к каноническому виду (7.9).
Таким образом, получили теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.
Теорема7.6. Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к канонической форме. Коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.
Пример3. Привести квадратичную форму к каноническому виду
указать при этом соответствующий ортонормированный базис.
Решение. Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме
.
Найдем характеристические корни матрицы A
Получили
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: , если положить то Получили собственный вектор
Аналогично находим собственный вектор
Собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, и потому ортогональны. Нормируя собственные вектора, получаем ортонормированный базис
(7.10)
в котором квадратичная форма имеет канонический вид
Матрицей перехода в (7.10) служит
.
Тогда
Заметим, к примеру, что в декартовой системе координат с осями вдоль базиса e уравнение поверхности
приводится к уравнению гиперболического цилиндра
в базисе (7.10) посредством ортогонального преобразования с матрицей Q.
Пример 4.Привести к каноническому виду уравнение поверхности
заданную в декартовой системе координат. Ууказать соответствующий ортонормированный базис.
Решение. Квадратичной форме
соответствует симметрическая матрица
.
Найдем характеристические корни матрицы A
Получили
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений. Подберём независимые собственные векторы
Применим процесс ортогонализации. Положим
Вектор с2 будем искать в виде
,
Получили
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению из системы однородных уравнений
Система
имеет бесконечно много решений.
Решение системы: если положить то Получили собственный вектор
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Нормируя полученные ортогональные векторы, получаем ортонормированный базис
(7.11)
в котором квадратичная форма имеет канонический вид
Уравнение поверхности
приводится к каноническому уравнению двуполостного гиперболоида
в базисе (7.11) .
В случае n переменных квадратичную форму можно записать в виде
(7.12)
Определение. Квадратичная форма от n переменных с действительными коэффициентами называется положительно определенной, если при всяких действительных значениях этих переменных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма получает положительные значения.
Очевидно, что квадратичная форма от n переменных, тогда и только тогда, будет положительно определенной, если она приводится к каноническому виду, состоящему из n квадратов с положительными коэффициентами.
Следующая теорема дает возможность охарактеризовать квадратичные формы, не приводя их к каноническому виду.
Теорема 7.7(критерий Сильвестера). Квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.
Пример 5. Является ли форма
положительно определенной?
Решение.Симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме
.
Найдем главные миноры матрицы A:
В силу критерия Сильвестера квадратичная форма не является положительно определенной.
Приводя квадратичную форму (7.12) к каноническому виду, можно поразному выбирать базис. Поэтому возникает вопрос: количество положительных коэффициентов и отрицательных зависит от выбора базиса или нет? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 7.8(закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма от n неизвестных с действительными коэффициентами приведена двумя различными способами к каноническому виду то, число положительных коэффициентов и отрицательных в обоих случаях одно и то же.