Скалярное произведение векторов

 

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

. (2.11)

Свойства скалярного произведения

1) × = , т. к. .

В частности: ;

2) × = 0, если ^ ( ) или = 0 или = 0.

В частности: ;

3) × = × ;

4) ×( + ) = × + × ;

5) (m )× = ×(m ) = m( × ).

Пример9. Найти длину вектора , если , , .

Решение. Воспользуемся свойством 1) скалярного произведения векторов

 

.

Пусть заданы два вектора в ортонормированном базисе

и .

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения). Очевидно, что , остальные скалярные произведения равны нулю, тогда

 

 

В частности,

 

Итак, скалярное произведение векторов и равно сумме произведений их одноименных координат.

Некоторые приложения скалярного произведения

1°. Нахождение угла между двумя векторами.

Если и - ненулевые векторы, то из определения скалярного произведения следует

. (2.12)

Отсюда следует условие перпендикулярности ^ ненулевых векторов

 

2°. Нахождение проекции одного вектора на направление другого.

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором может осуществляться по формуле

. (2.13)

3°. Работа постоянной силы.

А

В

j

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол j с перемещением (рис. 13).

Из физики известно, что работа силы при перемещении равна

или .

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример10. Найти угол между векторами и .

Решение. Используя формулу (2.12), имеем

.

Пример11. Найти , если известно, что А(-1, 2, 1), В(1, 0, 3), С(2, 2, -3).

Решение. Найдем координаты векторов и

, .

Из соотношения (2.13) имеем

.

Пример12. Найти значение коэффициента a, при котором векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , и угол между векторами и равен .

Решение. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю

 

.

Произведения векторов по определению скалярного произведения будут

, , .

Таким образом, откуда a = 20.

Пример13. Найти работу, производимую силой , на прямолинейном перемещении из положения А(1, 3, 5) в положение В(3, 3, 7).

Решение. Вектор перемещения .Искомая работа .