Векторное произведение векторов - раздел Математика, Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Векторное Произведение Векторов Существует Только В Трехмерно...
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
- правая тройка
Рис. 13
Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис. 14). В противоположном случае тройка называется левоориентированной или левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).
Определение. Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
Рис. 14
1) , где j - угол между векторами и , ;
2) вектор ортогонален векторам и ;
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или (рис. 15).
Для ортонормированных векторов произведение любых двух смежных векторов последовательности
(2.14)
дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности со знаком «-». Например,
, .
Геометрический смысл векторного произведения
j
Рис. 15
Для неколлинеарных векторов и модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 16).
Свойства векторного произведения
1) .
Это свойство очевидно, т. к. синус - функция нечетная.
2) , если или = 0 или = 0.
Если вектора коллинеарны, то .
3) (l )´ = ´(l ) = l ( ´ );
4) ´( + ) = ´ + ´ ;
5) Если заданы векторы {xa, ya, za} и {xb, yb, zb} в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то
´ = .
Доказательство. Разложим векторы и по базису
На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно с учетом формулы (2.14)
Некоторые приложения векторного произведения
1°. Установление коллинеарности векторов.
Если , то (и наоборот), т. е.
´ = или .
2°. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
Действительно, площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы и , равна модулю их векторного
произведения , а площадь треугольника со сторонами и вычисляется по формуле .
О
l
Рис. 16
3°. Определение момента силы относительно точки.
Если сила поворачивает тело вокруг оси l, то момент силы относительно точки О, равен (рис. 17).
Пример14. Найти векторное произведение векторов и .
Решение.
= (2, 5, 1), = (1, 2, -3).
.
Пример15. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).
Решение. Выпишем координаты векторов и
, .
Найдем векторное произведение векторов
Значит, (ед2).
Пример16. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение.
.
(ед2).
Пример17. Сила приложена в точке В(1, 2, 3). Найти момент этой силы относительно точки А(2, -1, 0).
Решение. Определим координаты вектора . Для момента силы получаем выражение
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Векторное произведение векторов
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители
Феофанова Вера Александровна
Мартышенко Юлия Геннадьевна
Редактор Н. А. Чудина
Подписано в печать ___
Бумага о
Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),
Понятие обратной матрицы
Основные понятия
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу
Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1.3)
где числа aij
Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства
Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный прямолинейн
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол
Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор
Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу
Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) повор
Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14)
К
Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =
Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф
Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой
Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего
Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в за
Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор
Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1
Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z
Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в
Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый
Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется
Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены
Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор
Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матриц
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов