Векторное произведение векторов

 

Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.

- правая тройка

Рис. 13

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис. 14). В противоположном случае тройка называется левоориентированной или левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).

Определение. Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

Рис. 14

1) , где j - угол между векторами и , ;

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или (рис. 15).

Для ортонормированных векторов произведение любых двух смежных векторов последовательности

(2.14)

дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности со знаком «-». Например,

, .

Геометрический смысл векторного произведения

j

Рис. 15

Для неколлинеарных векторов и модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 16).

Свойства векторного произведения

1) .

Это свойство очевидно, т. к. синус - функция нечетная.

2) , если или = 0 или = 0.

Если вектора коллинеарны, то .

3) (l )´ = ´(l ) = l ( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы {x_a, y_a, z_a} и {x_b, y_b, z_b} в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ = .

Доказательство. Разложим векторы и по базису

 

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно с учетом формулы (2.14)

 

 

 

 

Некоторые приложения векторного произведения

1°. Установление коллинеарности векторов.

Если , то (и наоборот), т. е.

´ = или .

2°. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

Действительно, площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы и , равна модулю их векторного

произведения , а площадь треугольника со сторонами и вычисляется по формуле .

О

l

Рис. 16

3°. Определение момента силы относительно точки.

Если сила поворачивает тело вокруг оси l, то момент силы относительно точки О, равен (рис. 17).

Пример14. Найти векторное произведение векторов и .

Решение.

= (2, 5, 1), = (1, 2, -3).

.

Пример15. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

Решение. Выпишем координаты векторов и

, .

Найдем векторное произведение векторов

 

 

 

Значит, (ед²).

Пример16. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение.

.

(ед²).

Пример17. Сила приложена в точке В(1, 2, 3). Найти мо­мент этой силы относительно точки А(2, -1, 0).

Решение. Определим координаты вектора . Для мо­мента силы получаем выражение

.