Диофантовы уравнения

БГУИР

 

 

РЕФЕРАТ

 

«Диофантовы уравнения»

 

Халецкий Андрей Викторович

Черкас Леонид Антонович

Доктор физико-математических наук,

профессор

 

МИНСК 2004

Цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в эту область знаний. Предмет исследования одновременно прост и сложен. Метод диафантова анализа, по своей сути предельно прост, но приемы, которые применяются, зачастую далеко не очевидны. Теория делимости чисел, как инструмент при решении задач используется не так часто, как например дифференциальное исчисление, но она предельно проста, многие ее положения просто очевидны, остальные легко понятны всем. Но выводы, которые мы можем получать при решении задач, могут быть просто невероятными.

На некоторые уравнения, приведенные в этой работе, было обращено внимание в книге «Диофантовы уравнения» (Базылев Д.Ф.). Так решение уравнения 2^x+3^y=5^z приводится по книге. Однако 2^x+3^y=7^z в этой же книге решено не верно. Уравнение 2^x+3^y=11^z в литературе не встречалось, при решении этого уравнения было использовано огромное количество методов ранее не известных автору.

При решении уравнений выяснилось, что решения таких уравнений, есть небольшие числа. Выдвинуто предположение «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c^x+b^y = a^z» которое, может вовсе снять проблему целого класса диафантовых уравнений.

Сейчас в приложениях ничтожное количество объектов и явлений которые описываются формулами с переменными натурального типа в показатели степеней (например, формула описывающая радиусы орбит планет Солнечной системы) однако не стоит забывать, что развитие математики ради математики, зачастую давало результаты которые нашли свое применение лишь через сотни лет.

«Чтобы дойти до цели,

надо прежде всего идти»

О. Бальзак

 

Введение

 

Во многих сборниках математических головоломок конца XIX в. приводиться такая задача. Один фермер потратил 100 долларов на покупку 100 домашних животных. Каждая корова обошлась ему в 10 долларов, свинья—в 3 доллара, а овца—по 50 центов за голову. Предполагая, что фермер купил, по крайней мере, одну корову, одну свинью, одну овцу, подсчитать, сколько голов скота каждого вида он купил.

На первый взгляд кажется, что это обычная задача из элементарной алгебры, однако, начав ее решать, мы быстро обнаруживаем, что у нас получается система из двух уравнений с тремя неизвестными, каждое из которых должно быть положительным целым числом. Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с тремя неизвестными в наши дни называется обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия такой анализ допускал использование в качестве переменных и рациональные дроби, однако сейчас он ограничивается только целыми числами.

Термин «диофантов» берет свое начало от имени выдающегося греческого математика Диофанта из Александрии. К сожалению, до сих пор не известно точно в каком веке он жил, однако большинство ученых относят его работы к III в. О его жизни практически ничего не известно, за исключением нескольких незначительных фактов, которые упоминаются в одной стихотворной задаче, вошедшей в один более поздний греческий сборник математических головоломок. Судя по этим фактам, у Диофанта был сын, умерший в среднем возрасте, а сам Диофант дожил до 84 лет. До нашего времени дошла примерно половина его главного труда - математического трактата «Арифметика». Поскольку в большинстве задач в этой книге предусматривает решение в целых числах, то для анализа подобного рода стал применяться термин «диофантов». Сам Диофант не предпринимал никаких попыток создать систематическую теорию таких задач, точно так же как нет почти никаких свидетельств использования методов диофантова анализа математиками, жившими до него.

Сегодня диофантов анализ—это обширная, сложная область теории чисел, которой посвящена многочисленная научная литература. При этом полная теория разработана лишь для линейных уравнений. Неизвестен (а, может, и не существует) общий метод решения уравнений второй и более высокой степеней. Анализ даже простейшего нелинейного диофантова уравнения может представить огромнейшие трудности. Такое уравнение может вообще не иметь решения, может иметь бесконечное множество решений или, наконец, может обладать произвольным конечным числом решений. Множество таких уравнений — причем порой настолько простых, что они понятны даже ребенку, — упорно сопротивляется всем попыткам найти их решение или доказать, что такое решение невозможно.

В этой работе мы будем рассматривать уравнения вида 2^x+3^y=a^z , где x,y,z—неизвестные натуральные числа, a- данное натуральное число.

I. Решение уравнений 2^x+3^y=a^z

1. Решение уравнения 2^x+3^y=1^z или 2^x+3^y=1 (1^a=1)

2^x+3^y=1,

2^x>1, 3^y>1 , где x,y—натуральные , тогда

2^x+3^y=1>2,

получили противоречие.

Ответ: Æ.

Решение уравнения 2x+3y=(2k)z, kÎN.

2^x+3^y=(2k)^z,

(2k)^z -2^x =3^y,

2(2^z-1k^z -2^x-1)=3^y,

2(2^x-1+2^z-1k^z)—четное, 3^y—нечетное.

Ответ: Æ.

Решение уравнения 2x+3y=(3k)z, kÎN.

2x= (3k)z-3y, 2x=3(3z-1kz-3y-1),тогда 2:3, что невозможно.

N при делении на 7 дает остатки 3;2;6;2;5;1, т.е. y=6q(qÎN), Итак, 5z-36m=2 Û 5z-3= 36m-1.

2) Пусть x=2, тогда уравнение принимает вид 4+3y=5z. Предположим, y нечетное число, тогда, по условию имеем (4+1)z-4=(4-1)yÛ(4a+1)-4=4b-1Ûa-b-1=1/2 где a,b Î N, что невозможно.

Z=3y+4Û6c-1=3y+4Û2c-3y-1-1=2/3, где cÎN, что невозможно. Тогда z=2n, nÎN.

ì5n-3m=1 или ì5n-3m=2 Û î5n+3m=4 î5n+3m=2 ì5n=2,5 или ì5n=2

Z=8+(4-1)y Û 4a+1=8+4b-1 Û a-b-2=1/2 , где a,bÎN, что невозможно. Тогда, y=2m, mÎN.

Имеем 52n+1=8+(8+1)m Û 5(24c+1)=8+(8d+1) Û d-15c+1=1/2 , где c,dÎN, что невозможно. Итак, z=2n, nÎN. Тогда имеем 52n-32m=8 Û (5n-3m)(5n+3m)=8, учитывая , что 5n ±3m четные и 5n-3m<5n+3m, получаем…

Icirc;5n+3m=4 .

Предположим y-нечетное. Получаем (4+1)z=16+(4-1)y Û 4a+1=16+4b-1 Û a-b-31/2=0 , где… Предположим z=2n+1.

Icirc;5n+3m=8 . î2×3m=6 î3m=3

5) Предположим, x³5 , тогда 2x+3y=5z . 5z -3y=2x . (5z -3y)делится на 32, т.е. числа 3y и 5z дают один и тот же остаток при делении на 32 . Рассмотрим остатки от деления на 32 5z и 3y. 5z при делении на 32 дает остатки: 5; 25; 29; 17; 21; 9; 13; 1, а

Z-4 делится на 9 Þ 7z дает остаток 4 при делении на 9. 7z при делении на 9 дает в остатке: 7; 4; 1. Значит, z= 3k+2, где kÎZ+.

Имеем 7^3k+2=3^y+4 Û 49(7^3k-1)=3^y-45.

Заметим, что (7³-1):19 Þ (7^3k-1):19, т.е. (3^y-45):19Þ (3^y-7):19.

3^y при делении на 19 дает остатки:

Значит, у=18k+6=6(3k+1)=6n, nÎN. Заметим, что (36-1):7Þ(36n-1):7.

Значит, (2;1;1) решение уравнения 2x+3y=7z. 3) Предположим, x³3, тогда 7z-3y=2x, т.е. 7z-3y делится на 8, тогда числа…

Z при делении на 8 дает остатки: 7; 1, а 3y при делении на 8 дает остатки 3; 1. Значит, z=2k, y=2n, где k,nÎN.

Имеем 7^2k-3²ⁿ=2^x Û (7^k-3ⁿ) (7^k+3ⁿ)=2^x Û ì7^k-3ⁿ=2^a

î7^k+3ⁿ=2^b

где b>a>0; b,a,ÎN; a+b=x, тогда

Times;7k= 2a+2b Û 7k=2a-1 (2b-a+1). Значит, 7k:2a-1. Откуда a=1. Получаем 2b-1+1=7k. Остатки от деления 2x на 7: 2;4;1.

Ответ: (2;1;1) 6. Решение уравнения 2x+3y=11z 1.) Заметим, что все степени 11 дают остаток 1 при делении на 10.

M+4º6(mod 10), 34n+4º1(mod 10).

Значит, если x и у являются решениями уравнения, то сумма последних цифр 2^x и 3^y равна 11, т.е. x¹4m, y¹4n, возможны пары (x;y):

M+1; 4n+2); (4m+2; 4n+3); (4m+3; 4n+1).

2.) Остатки 2^x при делении на 11: 2,4,8,5,10,9,7,3,6,1.

Остатки 3^у при делении на 11: 3,9,5,4,1.

Значит x¹2k.

Тогда остались пары (x;y):

M+1; 4n+2); (4m+3; 4n+1).

3.) Пусть x=1, тогда имеем уравнение 2+3^y=11^z, где y=4n+2 (из п.6.1), тогда

N+2=11z.

Видим, что у=2, z=1—его решение. Если существуют другие решения, тогда

Y=4n+2>2 Þ 34n+2:27.

Заметим, что 1118-1 делиться на 19 (малая теорема Ферма). Имеем 1118k+7-2=3y, тогда 117(1118k-1)+117-2=19a+9=3y. Остатки от деления 3y на 19: 3;9;8;5;15;7;2;6;18;16;10;11;14;4;12;17;13;1. Значит, y=18n+2.

K+7=7b+4.

Остатки от деления 11^z на 7: 4;2;1, т.е. z=3c+1…

Дальнейшее доказательство этого уравнения с помощью теории делимости чисел не существует, однако, проверка простым перебором, с помощью вычислительной техники позволяет предположить, что это равенство выполняется только при z=1,y=1.

4.) Пусть x=3, тогда имеем уравнение 8+3^y=11^z, где y=4m+1 (из п.6.1.), y=1, z=1 его решение.

Пусть y>1, тогда 11^z-8=3^y , т.е. 11^z-8 делится на 9 ,значит, 11^z дает остаток 8 при делении на 9. 11^z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. Откуда z=6k+3, тогда 11^z=11^6k+3= 11³×11^6k=11³(11^6k-1)+ 11³, заметим 11⁶-1 делится на 7Þ 11^6k-1 делится на 7, тогда 11³(11^6k-1)+11³=11³×7a+11³= 11³ × 7a + 7 × 190 + 1= 7(11³a+190) + 1, откуда 11^z-8=7b-7=7c, одновременно 11^z-8=3^y,значит, 3^y:7, что невозможно. (3;1;1)- решение уравнения 2^x+3^y=11^z.

5.) Допустим x>3, тогда 11^z-3^y=2^x делится на 16, т.е. 11^z и 3^y даю одинаковые остатки при делении на 16.

Z при делении на 16 дает остатки: 11; 9; 3; 1.

Y при делении на 16 дает остатки: 3; 9; 11; 1.

Из п.6.2. y=4n+1 или y=4n+2; тогда z=4k+3 или z=4k+2 соответственно. Рассмотрим уравнение 11^z-3^y=2^x при y=4n+2;z=4k+2, тогда 11^4k+2-3⁴ⁿ⁺²=2^x Û

ì11^2k+1-3²ⁿ⁺¹=2^a

Icirc;112k+1+32n+1=2b , где b>a, a+b=x

112k+1: 2a-1,если a-1=0, тогда 112k+1=2b-1+1 Þ 10d+1 = 2b-1+1 Þ 2b-1: 5, что невозможно. Рассмотрим уравнение 11z-3y=2x при y=4n+1; z=4k+3. 114k+3-34n+1=2x Û… 113(114k-1)+11 –3(34n-1)-3=2x как 113×5a-15b+8=2x откуда 5с+3=2x Þ 2x при делении на 5 дает остаток 3. 2x…

Z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1.

2^x при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. (из п.6.2) x¹2m, тогда возможно 3 варианта.

1*)

Z=6k+1, x=6m+1 ,откуда 11(116k-1)+11-2(26m-1)-2=3y.

A+7b+9=3yÛ 7d+2=3y, тогда 3y при делении на 7 дает остаток 2.

2*) z=6k+3, x=6n+3, откуда 113(116k-1)+113-23(26n-1)-23=3y 7a+7b+7×189=3y … 7d=3y, тогда 3y:7 , что невозможно.

Y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y=6k+5.

Получаем 11^6k+5-2^6m+5=3⁶ⁿ⁺⁵. Заметим, что 3⁶-1 делится на 13, тогда 3⁶ⁿ-1 делится на 13 (См. Приложение.)

N+5=35(36n-1)+ 35=13d+9.

Остатки от деления 11^z на 13: 11;4;5;3;7;12;2;9;8;10;6;1.

Остатки от деления 2^x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Получаем 11^6k+5º7 (mod 13) и 11^6k+5º6 (mod 13), а

K+5º6 (mod 13) и 26k+5º7 (mod 13).

Тогда возможны варианты : 11^6k+5=13a+7 или 11^6k+5=13a+6, а

K+5=13b+6 или 26k+5=13b+7.

116k+5-26m+5=(13a+7)-(13b+7)=13(a-b), 116k+5-26m+5=(13a+6)-(13b+6)=13(a-b), 116k+5-26m+5=(13a+6)-(13b+7)=13(a-b)-1=13c+12,

Z-3y=4.

Рассмотрим остатки от деления 13^z и 3^y на 4:

Z на 4:1.

3^y на 4: 3;1. Получили, что y=2n. Тогда 13^z-4=3²ⁿ,

13^z-4=9ⁿ, при n=1 решение(2;2;1 решение 2^x+3^y=13^z),

пусть n>1, тогда (13^z-4):27.

Рассмотрим остатки от деления 13^z на 27:

Z на 27: 13; 7; 10 22; 16; 19; 4; 25; 1. Откуда z=9k+7.

Заметим, что (13⁹-1):10 Þ (13^9k-1):10.

13^9k+7-4=9ⁿ Û 13⁷(13^9k-1)+13⁷-4=9ⁿ учитывая что (13^9k-1):10,

получаем 10a+7-4=9ⁿ Û 9ⁿ-3=10a Þ (9ⁿ-3):10, что невозможно

N на 10: 9;1. Æ.

Рассмотрим остатки от деления 13z и3y на 8. 3y на 8: 3; 1, 13y на 8: 5; 1. Откуда у=2n, z=2k, имеем 132k-32n=2x Û

K=2a-1(2b-a+1) может иметь решения только при a=1, тогда уравнение принимает вид 13k=2b-1+1.

Рассмотрим остатки от деления 2^x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Тогда b-1=12c+6=6d, получили 2^6d-1+2=13^k Þ 7e+2=13^k, что невозможно 13^k при делении на 7 дает остатки 6,1. Решений при x>2 нет.

Ответ: (2;2;1)

Заключение

 

Общая схема решения диофантовых уравнений вида b^x+(b+1)^y = a^z, где aÎN, bÎN, на основе этой работы выглядит так:

1. Оценить остатки при делении выражения на a,b или (b+1).

Возможны результаты:

А) Противоречия, корней нет. Ответ: Æ

Б) Возможны корни, при некоторых

ограничениях.(Переходим к п.2)

2. Выбираем одну из переменных (обозначим ее с) и анализируем наличие корней при с=1, с=2, ...с=q, с>q, учитывая полученные ранее ограничения.

Возможны результаты:

А) Получены противоречия, корней нет. Ответ.

Б) Отсев некоторых показателей, нахождение некоторых корней, доказательство, что при c>q корней нет. Ответ.

В) Новые ограничения. Нет доказательства отсутствия корней при c>q.(Переходим к п.3.)

3. Выбираем другую переменную и переходим к п.2.

А) Доказательство найдено. Ответ.

Б) Доказательство не найдено. Рассматриваем остатки от деления на другие числа.

С помощью теории делимости чисел можно легко показать, что уравнения вида b^x+(b+1)^y = a^z , где aÎN, bÎN, не имеют решения, например, если b или (b+1) имеет общий делитель с а. Всегда можно наложить существенные ограничения на показатели степеней. Затем, эти ограничения можно использовать при доказательстве другими методами или в дальнейшем анализе. Стоит заметить, что все решения тривиальны, возможно, справедливо утверждение: «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c^x+b^y = a^z» Если удастся это доказать, то уравнения этого вида можно будет решать, простым перебором конечного числа вариантов.

Приложение.

Малая теорема Ферма.

a^p-a делится на простое p для любого натурального а. В частности, если

A и p взаимнопростые, то аp-1-1 делится на p.

(Доказательство см. Диофантовы уравнения Д.Ф. Базылев. стр.20)

Бином Ньютона.

X-a)n=xn+C1naxn-1+…+an, nÎN.

Отсюда

1. для n=2k+1 kÎZ₊. (x-1)ⁿ=lx-1 ,где l-некоторое натуральное число.

2. для n=2k kÎN. (x-1)ⁿ=lx+1, где l-некоторое натуральное число.

3. для любого n. (x+1)ⁿ=lx+1, где l-некоторое натуральное число.

Формулы сокращенного умножения.

Am-bm=(a-b)(am-1+am-2b+…+abm-2+bm-1),mÎN.

Отсюда (a^k×m-1)= (a^k×m-1^k)=(a^m-1)(…) делится на (a^m-1) .

Решение уравнеия 3y=2x-1.

Отсюда x=2m. Имеем 3y=22m-1 Ûì2m-1=3a î2m+1=3b, b>a, a+b=у. Тогда 2m+1=3a+3b, b=1, a=0- его решение. Если а>0 , тогда 2m+1=3(3a-1+3b-1), откуда 2m+1:3, что невозможно.

Список литературы

1. «Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика.» Ответственный редактор Л.Я. Савельев. Издательство «Наука». Сибирское отделение. 1987г.

2. «Диофантовы уравнения » Справочное пособие к решению задач Базылев Д.Ф. Мн.: НТЦ «АПИ», 1990г.- 160 с.