Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств

Задачи по математике

 

 

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.

 

Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.

II.1. Степенная функция и ее свойства.

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом… Перечислим свойства функции у = kx. 1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.

II. 2. Показательная функция и ее свойства.

Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель­ной. 1.Функция у = ах при а>1обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.7.): … а) область определения — множество всех действительных чисел;

Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.

 

Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) ^f(x) и

а(х)^g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

4. При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.

 

Пример №1.

Решение

1) x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 3² > 0, то x₁ = 3 - это решение.

2) x – 3 = 1, x₂ = 4.

3) x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x₃ = 1.

4) x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x², x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)^{0 =} (-3)⁰ –верно это решение x₄ = 0. При x = 1, (-2)^{1 =} (-2)¹ – верно это решение x₅ = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

 

Пример №2.

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

1) x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 0⁰ это не решение.

2) x – 1 = 1 x ₁ = 2.

3) x – 1 = -1 x ₂ = 0 не подходит в ОДЗ.

4) =

Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.

Ответ: 2.

 

Пример №3.

Решение

1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) ≠ 0 т.е. . Тогда можем записать:

3) = 1. = 0

и

4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)^-1 ≠ (-1)⁰. Это не решение. При х = 1 (-1)⁰ = (-1)⁰. Это решение х₃ = 1.

5) ≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или

= 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.

 

Пример №4.

Решение

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

при ,

2) , .

3) , .

, (-1)⁰ = (-1)⁰ это решение.

.

4) и

или

При (-4)⁰ = 1 – верно.

Ответ: -1, 2, 4.

 

Пример №5.

Решение

1) , , это не решение.

2) , и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,

х = 5, 3¹⁵ = 3¹⁵ – верно. х₃ = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.

 

Пример №6

Решение

1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) . или .

3) отрицательных значений не имеет.

4) При ,

, т.к. , то . Проверка 2⁰ = 1 – верно.

Ответ: -1, 1, 2.

 

Пример №7

Решение

1) , , , . Это решение .

2) , .

3) , , - четное и -3х – четное. Это решение. х₂ = -4.

4) и , , , , 4^-3 = 4^-3 – верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1

Пример №8

Решение

ОДЗ: ,

, ,

и

Все решения принадлежат уравнению =2.

, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.

 

Пример №9

Решение

ОДЗ: , , .

1) решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При , или ,

ОДЗ, ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .

Проверка: , 2⁰ = 1 – верно.

, - верно.

Ответ: 0, 3/2.

 

Пример №10

Решение

1) решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .

3) , и .

Второе решение не подходит, т.к , . А является решением

Ответ: , 2, 4.

 

Пример №11

Решение

1) , , и это решение .

2) , .

3) , , - четное, - нечетное. Это является решением.

4) или , , , , .

Проверка: , - верно.

Но не является корнем!

Выражение (-1,5)^52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т.к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.

Ответ: -4, -2, -1.

 

Пример №12

Решение

ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.

и все решения содержатся в уравнении.

, ,

Ответ: 5.

Пример №13

Решение

1) , , . Это решение .

2) , , .

3) отрицательных значений не имеет.

При или все решения в уравнении , и .

При , - верно. .

Ответ: -1, 2, 3, 4.

 

Пример №14

Решение

ОДЗ:

1) При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При

2) , и . - решение, а .

3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .

При , - верно. .

Ответ: 4, 5.

 

Пример №15.

,

Решение

используя свойства логарифма и получили:

=

В первой части уравнения выполнили преобразования

. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.

или .

Ответ: 2.

 

Пример №16

Решение

ОДЗ:

Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения

; .

, , где

1) , - верно.

2) ,

Пасть , тогда

, или .

Следовательно; или , , .

Ответ: 1, 0,1, 0, 0,01.

 

Пример №17

Решение

ОДЗ: и

Выполним преобразования.

+= 2+2

+= 4

Пусть , а ,

Следовательно, или

,

2*2^t = 4

2^t = 4/2

2^t = 2

t = 1

 

Ответ: 2.

 

Пример №18

Решение

ОДЗ:

;

Прологарифмируем обе части равенства:

, где .

Умножим обе части уравнения на 2.

Пусть , тогда

, или

1) ,

или

Ответ: 0.1, 10.

 

Пример №19

Решение

ОДЗ:

Обратите внимание ниоткуда не следует! Наоборот, из ОДЗ видно, что может быть отрицательным!

,

или

Оба значения в ОДЗ.

Так как возводили в квадрат, корни надо проверить.

, - верно.

, - верно.

Ответ: -3, 3.

 

Пример №20

ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. они положительны, то посторонние корни не появляются)

или

Прологарифмируем по основанию 10.

или

1) или

,

Ответ: 0.01, 100.

 

Пример №21

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем по основанию 10.

, где .

Пусть , тогда:

умножим на 4

,

, или

1)

2)

Ответ: 0,0001, 10.

 

Пример №22

Решение

ОДЗ:

Заменим: , получим:

, где .

Решаем уравнение:

; или

1) ; ; . .

2) , , , , .

; ; ; .

Ответ: 0,1, 1, 10.

 

Пример №23

Решение

и

:

Подставим во второе уравнение вместо число 5, получим:

или

составляем систему уравнений:

 

Ответ: (13;8)

 

Пример №24

Решение

ОДЗ:

;

,

; или

, .

Ответ: 5.

 

Пример №25

Решение

ОДЗ:

Прологарифмируем правую и левую части данного уравнения по основанию 10:

Получим:

или

Обозначив , перепишем записанное уравнение в виде:

.

Решая его относительно , находим , .

Используя обозначения , из первого решения квадратного уравнения имеем . Отсюда . Используя решение , получаем . Преобразуем правую часть этого уравнения:

. Значит, , т.е. .

Ответ: 30, 100.

 

Пример №26

Решение

Так как , то при и имеем равносильное уравнение:

или

.

,

Ответ: 5.

 

Пример № 27

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 10:

,

; или

1) 2)

Ответ: 0.1, 100.

 

Пример №28

Решение

ОДЗ:

Так как обе части уравнения положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

и , поэтому

Пусть , тогда

или .

1)

;

2)

Ответ: , 3.

Пример №29

Решение

1) , т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) = 1, =1, , или

=-1, , .

Так как 1 в любой степени равна 1, то это решения.

3) (т.к. )

При все решения принадлежат уравнению . или .

При = 0, что не удовлетворяет уравнению

,

Ответ: , .

, .

, .

 

Пример №30

Решение

ОДЗ:

=

1) , , .

2) Так как , то остальные решения получаем из уравнения : Отсюда или . , и , .

Ответ: , -, и , .

 

Пример №31

Решение

1) или , и . Это решение. .

2) , и

3) Так как , то ;

;

; . Это решение.

Ответ: ; 5; 3; 4.

 

Пример №32

Решение

при всех

1) , - решений нет.

2). Потому при левая часть равна единице, а правая нет. Это решение.

3) ;

;

;

;

;

;

;

и ;

; ;

; ;

;

;

- решений нет.

Ответ: -3, 3.

Пример №33

Решить графически уравнение:

Решение

У функции Д(y): x > 0 и log₂ x > 0, т.е.,

x > 1. обл. определения х > 1.

А теперь: (формула перехода к новому основанию и определение логарифма).

Тогда (определение логарифма: ).

Так, что нужно только учитывать, что Д(у): x > 0.

Построим график функции (рис III.1).

у

 

 

2

0 1 4 х

Рис. III.1.

Ответ: (4; 2).

 

Пример №34

Решить систему уравнений:

Решение:

По определению логарифма имеем:

.

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х.

.

Из второго уравнения системы выразим у через х:

,

Тогда:

Пусть , , Д = (-5)² -4*1*4 = 9, , или .

1) 2)

Д = (-3)² – 4*1*(-4) = 25 пусть , тогда

или Д = (-1)² – 4*3*4 = -47<0

или корней нет

(-1,-1) – удовлетворяет ОДЗ

(4,4) решение системы уравнений.

Ответ: (4, 4).

 

Пример №35

Решите систему уравнений:

Решение.

По определению логарифма имеем:

Основание логарифма может быть:

1) (дробное)

(-1, 0) – не удовлетворяет ОДЗ.

2)

Выполним преобразования:

Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию х:

,

, ,

или

Пусть , тогда

Д = (-)² -4*1*(-2) = 9

или

: (х+1)

, где

;

1)

или

Решаем биквадратное уравнение

Примем , тогда получим

D = 3² – 4*1*(-4) = 25

; или

а)

б) ; (не удовлетворяет ОДЗ)

- решение системы уравнений.

2)

или

- (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)² -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ: . [ ]

 

Пример № 36

Решение

Для любого х и ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и

Решаем ее.

принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: .

 

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Неравенства вида (или меньше) при а(х)>0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x) и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Пример 1.

Решить неравенство:

2^3x:+⁷ < 2^2x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < - 8.

Ответ: -8.

 

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение.

Так как 625 = 25²= , то за­данное неравенство можно записать в виде

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х² - 8 = -2. Имеем последовательно

,

,

,

.

Решив последнее неравенство, полу­чим 2 х 3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 3.

Решим неравенство

Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 ^-2 = 4, перепишем заданное нера­венство в виде

0,5^7-Зх < 0,5^-2. Показательная функция y= 0,5^x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное не­равенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ: ( — оо ; 3).

 

Пример 4.

Решим неравенство

Показательная функция y = 6^x возрастает. Поэтому дан­ное неравенство равносильно неравенству х² + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)

и (1; оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).

 

Пример 5.

Решим неравенство:

Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа. Но , , а функция убывает,

поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.

Ответ: ( - 2; 1).

 

Пример 6.

Решение

1)

2 3 10

Изобразим на числовом луче

Должны выполняться все три неравенства, т.к. это система. Но при взятое не выполняется. Решений нет.

2)

Изобразим на числовом луче

10

Если , то

-решение системы неравенств.

Остальные случаи не дают решений, т.к. или 1 не удовлетворяют условию, а при т.е. получаем отрицательные числа с дробными показателями степени.

Ответ:

Пример 7

Решение

При , х = 2,5 или х = -1

При или можно записать .

При второе неравенство не выполняется. Система решений не имеет.

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

-1 2,5 3

Система не имеет решений.

2)

Изобразим на числовом луче решение системы неравенств

 

решение системы неравенств.

3) , - выражение имеет смысл тогда, когда х – 3 – целое число, чтобы показатель х – 3 был целым числом. Таким образом х – целое число в промежутке (-1; 2,5) т.е. х может принимать значения 0,1,2.

Проверка:

При - верно.

При - верно.

При - верно.

4) , х₂ = 2,5 и х₁ = -1

При х = -1 – не имеет смысла выражение 0^-4.

При х = 2,5, 0^2,5 – не имеет смысла.

5)

;

При ; - верно.

При ; - верно.

Ответ: или .

 

Задачи и решения.

1. Ответ: . 2. Ответ: 2. 3. Ответ: 7; 14.