СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Матрицаларға қолданылатын амалдар

  А=  

Анықтауыштар және олардың қасиеттері

2-ші және 3-ші ретті анықтауыштар келесі түрде өрнектеліп есептеледі: (2.2) = (2.3)

Кері матрица

Екінші ретті матрица үшін кері матрицасын жазайық: А= матрицасына кері матрица мына формуламен табылады:

Шінші ретті матрицаға кері матрица

(2.7) Мұндағы матрицасының анықтауышы, … 13-мысал.А= матрицасының кері матрицасын табу керек.

Матрицаның рангісі

А матрицасының рангісі r(A) деп белгіленеді. Элементар түрлендірулерден матрицаның рангісі өзгермейді. Элементар… -матрицаның жолын бағанмен, ал бағанды сәйкесінше… -матрицаның жолдарын немесе бағандарын өз ара алмастыру;

Сызықтық теңдеулер жүйесі

Крамер формулалары

 

Шінші ретті теңдеулер жуйесін қарастырамыз.

Шешімін Крамер формуласы арқылы табамыз:   Мұндағы жүйенің негізгі анықтауышы.

Шінші ретті теңдеулер жүйесін қарастырамыз

Белгілеулер: A= белгісіздердің коэфциенттерінен құрылған матрица, Х= белгісіздің баған матрицасы, В= … 5-мысал. жүйені матрицалық әдіспен есептеу керек. Шешуі. А жүйенің матрицасы, Х немесе B=

Йлесімді және үйлесімсіз жүйелер

Кронекер Капелли теоремасы: Егер жүйе матрицасының рангісі жүйенің кеңейтілген матрицасының рангісіне … r=n жағдайында үйлесімді жүйенің жалғыз шешімі… 6-мысал.Теңдеулер жүйесі үйлесімді болса Гаус әдісімен шешіңіз.

ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Бір немесе параллель түзулердің бойында жататын векторларды колинеарлы векторлар деп атайды. Бір немесе параллель жазықтықта жататын векторларды .... вектор… Екі колинеарлы немесе бірдей ұзындыққа ие векторлар тең векторлар деп аталады.

Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері.

1. 2.

3.(m ) 4. Егер

Векторлардың арасындағы бұрыш

(3)

Екі вектордың перпендикулярлық шарты

1-мысал және векторлары берілген және =3 Есептеу керек Шешуі. (1) формула бойынша

Координаттары мен берілген векторларға амалдар орындау.

және

берілген векторлар болсын, кейбір белгілі сандар үшін амалдар төмендегі формулалармен орындалады

Қосынды (6)

Айырма (7)

Санға көбейту(8)

Екі вектордың колинеарлық шарты

(9)

Екі және векторларының скалярлық көбейтіндісі аттас компонеттерінің көбейтіндісінің қосындысына тең және шамасы сан болады.

(10)

Екі вектордың перпендикулярлық шарты.

(11)

 

Вектордың модулі

2) Егер ,,A онда векторының модулі АВ векторының ұзындығына тең: (13) 7-мысал. болсын. Векторларға амалдар орындау керек. және

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері.

2) 3) 4)

Жазықтықтағы түзу

Түзулердің теңдеулері

Түзудің жалпы теңдеуі

түзудің жалпы теңдеуі деп аталады, мұндағы Сонымен қатар түзу векторына параллель. Жеке жағдайлар:

Бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің теңдеуі

By=-Ax-C деп белгілеп, бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің… y=kx+b

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

d= (14) 15-мысал.М(2;-3) нүктесімен x+2y-4=0 түзуінің… Шешуі. және және A=1, B=2, C=-4-түзудің коэффициенттері. (13) формуласының…

Кеңістіктегі жазықтық және түзу

Кеңістікте қандай да бір жазықтық бірінші дәрежелі теңдеу Ах+Ву+Сz+D=0 қылы анықталады,… Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп… 1-мысал. α жазықтығының теңдеуі берілген:

Жазықтықтың теңдеулерінің арнаулы түрлері

А(х- )+B(y- )+C(z- )=0 Осы жазықтыққа перпендикуляр нөлдік емес вектор… 6-мысал.М(2;1;-3) нүктесінен өтетін N=(3;2;5) векторларына перпендикуляр жазықтықтың…

Жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі

Мұндағы a,b,c- координаттық остегі жазықтықтың қиятын кесіндісі. Егер, A,B,C,D коэффициенттері нөлден өзге болса, D бос… 10-мысал.Жазықтықтың мына 4x-3y+2z-12=0 теңдеуін кесінділік түрге келтіріңіз.

Екі жазықтықтың өзара орналасуы

cos (5) 14-мысал.x+2y+2z-8=0 және x+z-6=0 жазықтықтарының… Шешуі.Шарт бойынша, берілген жазықтықтардың нормаль векторлары. cos (5)формула арқылы…

Жазықтықтардың параллельдік және перпендикулярлық шарттары

Параллельдік шарт: (6) Перпендикулярлық шарт: (7) 15-мысал.p және q коэффиценттерінің қандай мәндерінде x+pv+2z-3=0 және 2x-4y+qz+7=0…

Кеңістіктегі түрлер

1) Түзудің жалпы теңдеуі: коэффициенттері коэффициенттеріне пропорциональды емес. Басқа… Канондық теңдеулер: (2)

Екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі

A( ), B( ) мына түрге ие

 

(4)

18-мысал. нүктелері берілген. Осы нүктелерден өтетін түзудің теңдеуін құру керек.

Шешуі: (4) формулаға осы берілген екі нүктенің координаттарын қою арқылы L түзуінің теңдеуін жазамыз,

осыдан

Екі түзудің арасындағы бұрыш

және мына формуламен есептеледі

 

соs (5)

Түзулердің параллельдік белгісі: (6)

Түзулердің перпендикулярлық белгісі:

(7)

Жазықтықтағы екі түзудің қиылысуының қажетті және жеткілікті шарты

19-мысал.Түзулердің арасындағы бұрышты анықта   Шешуі.(5) формула арқылы екі түзудің арасындағы бұрышты анықтаймыз. Бірінші…

Түзуімен және Ax+By+Cz+D=0 жазықтығының қиылысу нүктесін олардың теңдеулерінен тұратын жүйеден табамыз.

Түзу мен жазықтық параллель болады, егер

Al+Bm+Cn=0 (9)

Түзу мен жазықтық перпендикуляр болады, егер

(10)

21-мысал.s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:b/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="KZ"/></w:rPr><m:t>6</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> түзуімен 2x+3y+z-1=0 жазықтығыеың қиылысу нүктесін тап.

Шешуіt параметрін енгізіп , түзудің канондық теңдеуінен параметрлік түріне келтіреміз:

T

Жазықтықтың теңдеуіндегі x,y,z үшін жоғарыдағы алынған мәндерді қояиыз. Нәтижесінде:

2(t+1)+3(-2t-1)+6t-1=0, 2t+2-6t-3+6t-1=0, t=1

Параметрлік теңдеуіне t мәнін қойып, ізделінді нүктесін табамыз:

x=1+1=2, y=-2

Жауабы: (2;-3;5)

Анализге кіріспе

Функциянвң шегі

𝒇(a-0)= және сандары𝒇(x) функциясының х ға ұмтылғандағы шегі болуы үшін ол… Шектерді есептеудің негізгі ережелері 1.

Шешуі.

=4

Берілген мысалдарда шешімінде көрсетілгендей, шекті табудың қарапайым түрі берілген өрнектің әрқайсысына аргументтің шектік мәнін қою арқылы шегін табамыз.

Егер тең болса, онда x ұмтылғанда 𝒇(x) шексіз аз, ал егер болса шексіз үлкен функция деп аталады. Егерx ұмтылғанда шексіз үлкен болса, онда шексіз аз функция болады. Керісінше, егер𝒇(x) -шексіз аз функция болса, онда функциясы шексіз үлкен болады.

3-мысал. Есепте:

Шешуі.x ұмтылғанда бөлшектің (х+2) алымы 5-ке, ал (х-3) бөлімі 0-ге ұмтылады.(яғни шексіз аз функция). Сондықтан x ке ұмтылғанда бөлшектің қатынасы шексіз үдкен функция, яғни

4-мысал. Есепте:

Шешуі: Бөлшектің алымы-тұрақты сан, x ұмтылғанда бөлшектің бөлімі шексіз үлкен функция, сондықтан x ұмтылғанда функциясы шексіз аз. Демек

Егер x ұмтылғанда және g(x) функциялары эквивалентті деп аталады, егер олардың шектерінің қатынасы 1-ге тең болса. Оны былай жазуға болады:

Егер , онда x үшін𝒇(x)

Шектерді есептеуде x ұмтылғанда келесі функциялардың эквиваленттілігін қолдануға болады:sinx

Көпмүше x ұмтылғанда өзінің ең үдкен мүшесіне эквивалентті болады.

Мысалы, 𝒇(x)= Ең үлкен мүшесі Шекті есептемейміз = ұмтылғанда және бөлшектерінің әрқайсысы 0-ге ұмтылды) Бұл x ұмтылғанда

екенін білдіреді.

Кейде функцияның шегін есептеп шығаруда шек таңбасының астында екі функцияның қатынасының шегі тұрса және жағдай да алымының да, бөлімінің де шегі 0-ге немесе –ке тең болса, бұл жағдай да

Ұмтылғанда және түріндегі анықталмағандықтарын кездестіреміз( а-сан немесе ) Бұл жағдайда бөлшекті (х-а) көбейткішіне жіктеу арқылы анықталмағандықтан құтыламыз.

5-мысал. Есепте:

Шешуі. Бөлшектің алымы мен бөлімі болғанда 0-ге тең болады

( түріндегі анықталмағандық). Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуді қолданып, мынаны аламыз:

6-мысал. Есепте:

Шешуі: Бөлшектің алымы мен бөлімі бодғанда 0-ге тең болады.

(түріндегі анықталмағандық) Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктейміз: Виет теоремасы бойынша

Бұдан,

Сол сияқты,

7-мысал. Есепте:

Шешуі: Бұл да түріндегі анықталмағандық. Бұл анықталмағандықты ашу үшін, бөлшетің алымы мен бөлімін иррационалдықтың түйіндесіне өрнегіне көбейтеміз. Бұл бізге бөлшектің бөліміндегі иррационадықтан құтылуға және квадраттар айырымының формуласын қолдануғамүмкіндік береді. Сонымен қатар,

8-мысал. Есепте:

Шешуі: Бұл түріндегі анықталмағандық. Көпмүше ұмтылғанда өзінің ең үлкен мүшесіне эквивалентті. Сондықтан ұмтылғанад

Демек,

9-мысал. Есепте:

Шешуі: үшін

Сондықтан( ұмтылғанда х-шексізүлкен функция, шексіз аз)

 

Шешуі. Теңдеудің екі жағында х-ке бөліп у'= аламыз. z= қойып, у'=2z-1, немесе хz =z-1.

Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз:

 

Яғни, z-1=Cx, мұндағы =Cx,немесе у =х+С жалпы шешімі.

 

Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

у'+Р(х)у=Q(x), Мұндағы у-ізделінді функция , Р(х) және Q(x)- белгілі… u'v+uv'+P(x)uv=Q(x), немесе v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x) теңдеуіне y=uv және y'=u'v+uv' қоямыз.

Екінші ретті диференциалдық теңдеулер

 

Арапайым екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

6-мысал. теңдеуін шеш. Бастапқы шартты қанағаттандыратын: у=0, у'=1,х=1 болғндағы дербес шешімін табу керек. … Шешуі.у=(у) болғандықтан. Онда у'=

Тұрақты коэффициентпен берілген екінші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер

1. Егер характеристикалық теңдеудің түбірлері бар болса және әр түрлі болса онда жалпы теңдеу… 2. Егер характеристикалық теңдеудің бірдей түбірлері… 3. Егер характеристикалық теңдеудің түбірлері комплексті болса к=а±i онда

Мысал