рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Список основных статей по линейной алгебре

Список основных статей по линейной алгебре - раздел Математика, Список Основных Статей По Линейно...

Список основных статей по линейной алгебре

Аффинное пространство

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

1. Существует по меньшей мере одна точка1). 2. Каждой паре точек , заданных в определенном порядке, поставлен в… 3. Для каждой точки и каждого вектора существует одна и только одна точка такая, что 2).

Базис и размерность векторного пространства

Определение

1. порождает , 2. линейно независима. Теорема 1. Ненулевое векторное пространство всегда обладает базисом. Иными словами, является свободным -модулем.

Переход от одного базиса к другому

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого: . Определение 4. Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

Билинейное отображение

Определение

Определение 1. Отображение называется билинейным2), если оно -линейно по каждому аргументу, то есть § для и § для , ,

Билинейная форма

Определение 2. Билинейное отображение в кольцо называется билинейной формой3) на , а также спариванием4) между и . Замечание. Как правило рассматривается случай, когда , при этом говорят о… Определение 3. Если билинейная форма на модуле удовлетворяет условию , то она называется симметрической5).

Матрица билинейной формы

Определение 5. Пусть и — конечномерные свободные -модули с базисами и , соответственно. Матрицей билинейной формы7) называется матрица , где . Предложение 1. Если элементы модулей и определены координатами в выбранных базисах, , , то

Векторное пространство

Определение

1. для всех ; 2. для всех ; 3. для всех ;

Подпространство векторного пространства

1. для любых векторов ; 2. для всех . Определение 3. Коразмерностью7) линейного подпространства называется разность .

Факторпространство

Предложение 1. Отображение , определенное правилом: для всех и корректно, то есть не зависит от выбора представителя смежного класса. Кроме того, данное отображение удовлетворяет…

Двойственное векторное пространство

Определение

Определение 1. Двойственным векторным пространством1) к называется векторное пространство линейных функционалов 2), то есть множество линейных… 1. для всех ; 2. для всех .

Двойственный базис

, образуют базис . Определение 2. Базис пространства , указанный в формулировке предложения 1, называется двойственным3)к базису …

Жорданова нормальная форма

Жорданова матрица

Определение 1. Жордановой клеткой1) размера с собственным значением называется матрица вида Определение 2. Жордановой матрицей2) называется матрица, состоящая из диагональных блоков и нулей вне этих блоков: …

Жорданова нормальная форма

Определение 3. Жордановым базисом линейного оператора называется такой базис пространства , в которой матрица оператора является жордановой.… Определение 4. Приведением квадратной матрицы к жордановой нормальной форме… Теорема 1. Каждая квадратная матрица порядка над алгебраически замкнутым полем приводится к жордановой нормальной…

Корневые подпространства

Определение 5. Корневым подпространством3), соответствующим собственному значению называется множество векторов . Предложение 1. Пусть — линейный оператор на пространстве с характеристическим многочленом где при . Тогда —…

Квадратичная форма

Определение

Определение 1. Квадратичной формой1) на -модуле называется отображение , обладающее следующими свойствами: 1. для любых ; 2. отображение , определенное формулой , являетсябилинейной формой на .

Квадратичная форма на векторном пространстве

Определение

В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом. Определение 1. Квадратичной формой1) на векторном пространстве называется… для всех .

Матрица квадратичной формы

, где . Если в базисе вектор имеет разложение , то .

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве

Закон инерции квадратичных форм

. Предложение 1. В векторном пространстве существует базис, в котором… Доказательство.

Положительная определенность

Определение 4. Квадратичная форма называется 1. положительно определенной, если для всех ненулевых ; 2. отрицательно определенной, если для всех ненулевых ;

Неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Линейная зависимость

Линейные комбинации. Линейная оболочка

Определение 1. Линейной комбинацией1) элементов из называют сумму , где лишь конечное число элементов отлично от нуля. Элементы называются… Пример 1. Кольцо многочленов над полем является, в частности, векторным… Предложение 1. Множество всех линейных комбинаций элементов из является подмодулем в модуле .

Линейная зависимость

Если в качестве модуля взять векторное пространство и рассматривать конечные наборы , то определение линейной зависимости может быть… Определение 3'. Система векторов пространства называется линейно… Пример 4. Если множество содержит нулевой элемент, то оно линейно зависимо.

Линейное нормированное пространство

Определение

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой2) указанного элемента и… 2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам: I. , причем тогда и только тогда, когда .

Линейное отображение векторных пространств

Определение

1. для всех ; 2. для всех , . Пример 1. Нулевое линейное отображение , заданное правилом для всех .

Частные случаи

Замечание 1. В категорном смысле линейный оператор — это эндоморфизм векторного пространства . Соответственно, множество всех линейных операторов на… Пример 4. Линейный оператор , определенный правилом: для всех и некоторого… Определение 4. Линейное отображение 5) называется линейной функцией6), или линейным функционалом7), или линейной…

Свойства линейного отображения

Определение 6. Образом10) линейного отображения называется множество . Замечание 2. Как следует из определений, , , то есть ядро и образ являются… Предложение 2. Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами векторных пространств и ,…

Матрица

Основные определения

или, более кратко, . Для фиксированного семейство называется -й строкой2)… Определение 2. Матрица размера называется квадратной матрицей6) порядка .

Операции над матрицами

Транспонирование

Определение 12. Матрица порядка называется матрицей, транспонированной16) к .

Сложение и умножение на скаляр

Определение 13. Матрица размера с элементами называется суммой матриц и . Определение 14. Умножение матрицы на скаляр определяется правилом: . Предложение 1. Относительно введенных операций сложения и умножения на скаляр множество всех матриц размера над полем …

Умножение матриц

Определение 15. Произведение матриц и определено, если . Результатом умножения является матрица размера с элементами . Пример 2. Произведением матрицы размера и столбца является столбец . Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, то есть , если определены и .

Матрица линейного отображения

Определение

Пусть произвольный вектор имеет следующие координаты в разложении по базису , , тогда его образ из пространства в базисе имеет разложение , где… Предложение 1. Существует взаимно однозначное отображение между множеством… Определение 2. Матрица линейного оператора2) — это матрица линейного отображения в случае, когда .

Минимальный многочлен линейного оператора

Пусть конечномерноевекторное пространство над полем и линейный оператор на .

Определение

Определитель и след линейного оператора

Определение

Определение 1. Определителем1) линейного оператора называется определитель матрицы . Определение 2. Следом2) линейного оператора называется след матрицы . Предложение 1. Пусть — характеристический многочлен оператора . Тогда

Определитель матрицы

Определитель

Определение 1. Определителем1) матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов , взятых по одному из каждой строки… , где суммирование ведется по всем подстановкам порядка , — знак подстановки .

Свойства определителя

Предолжение 2. Если в определителе матрицы поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный. Предложение 3. Справедливы следующие свойства: 1. ,

Пересечение и сумма подпространств

Пересечение и сумма

Предложение 1. Пересечение подпространств и является векторным пространством. Замечание 1. Объединение пространств и не обязано быть векторным… Пример 1. Пусть , то есть множество векторов вида , где . Базисом этого пространства служат вектора и . Положим и —…

Внутренняя прямая сумма

где . Прямая сумма векторных пространств обозначается через . Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.

Внешняя прямая сумма

Определение 4. Прямой суммой векторных пространств и называется декартово произведение с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр,… . Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться,…

Ранг матрицы

Горизонтальный и вертикальный ранг

Определение 1. Рассмотрим -мерные вектора, составленные из строк матрицы : , , … . Максимальное количество линейно независимых векторов системы называется горизонтальным рангом1)матрицы .

Элементарные преобразования матрицы

1. перестановка двух строк, 2. прибавление к одной строке другой, умноженной на число, 3. умножение строки матрицы на ненулевое число.

Минорный ранг

1. найдется ненулевой минор порядка матрицы , 2. все миноры матрицы порядка нулевые. Пример 3. Найдем минорный ранг матрицы

Свободный модуль

Определение

Определение 1. Модуль называется конечно порожденным1), или модулем конечного типа, если он имеет конечное числообразующих. Определение 2. Модуль, порожденный единственным элементом , записывается в… Определение 3. Множество называется базисом4) модуля , если не пусто, порождает и линейно независимо.

Скалярное произведение

Скалярное произведение

1. Симметричность: для всех ; 2. Положительная определенность: для всех , и обращается в нуль, лишь если… Часто для скалярного произведения векторов и вместо используют обозначение или .

Евклидово пространство

Пример 3. Пространство является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2. Определение 3. Пусть — евклидово пространство. Для любого число называется… Предложение 1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для произвольных векторов из евклидова пространства справедливо…

Теорема Лапласа

Минор

Пусть квадратная матрица порядка с коэффициентами из кольца ,.

Определение 1. Минором1) порядка произвольной матрицы называется определитель ее подматрицы порядка .

Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка , мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице любые строк с номерами и столбцов с номерами . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель — это минор порядка , который мы будем обозначать через .

Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: . Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, — минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.

Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор будет равен .

Определение 2. Пусть — минор порядка квадратной матрицы , построенный на строках с номерами и столбцах с номерами . Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой будем называть дополнительным минором2) к минору . Произвольный элемент матрицы можно рассматривать как минор . В этом случае называют дополнительным минором к элементу .

Пример 3. Дополнительный минор к минору из примера 4 равен .

Пример 4. Дополнительный минор к элементу матрицы из примера 3 равен .

Алгебраическое дополнение

Пример 5. Алгебраическое дополнение минора из примера 4 равно . Алгебраическое дополнение элемента из примера 3 равно .

Теорема Лапласа

Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером , то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу: . Пример 6. Вычислим определитель матрицы из примера 3 с помощью разложения по…

Определители 2-го порядка

Правило вычисления определителей 2-го порядка указано в примере 1.

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. .

Определители 3-го порядка

Правило вычисления определителей 3-го порядка указано в примере 2.

Задача 2. Вычислить определитель .

Решение.

Способ 2. Используем теорему Лапласа. Разложим определитель по второй строке, так как там только один ненулевой элемент. . Способ 3. Разложим определитель по первой строке: . Как видим, разложение по… Способ 4. Вычислим определитель с помощью элементарных преобразований, используя свойства определителя.

Определители высших порядков

. Решение. Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум… 1. на 1-м и 2-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го…

Характеристический многочлен линейного оператора

Рассмотрим конечномерноевекторное пространство над полем . Зафиксируем на немлинейный оператор . Через будем обозначать матрицу оператора в некотором заранее выбранном базисе.

Инвариантные подпространства

Определение 1. Подпространство называется инвариантным1) относительно линейного оператора , если .

Теорема 1. Пространство является прямой суммой двух подпространств и , инвариантных относительно линейного оператора , тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид: .

Собственные вектора и собственные значения

Пример 1. Пусть — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел , и — линейный оператор на , имеющий в некотором базисе матрицу… и . Определение 3. Подпространство4) называется собственным подпространством5) оператора . Размерность называется…

Характеристический многочлен

Теорема 2. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Определение 6. Уравнение называется характеристическим уравнением12)… Предложение 2. Собственное значение оператора является корнем характеристического многочлена, т.е. . Обратно, любой…

Диагонализируемые линейные операторы

Определение 8. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид .

Теорема 4. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

Теорема 5. Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем . Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

1. все корни характеристического многочлена лежат в ;

2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.

Пример 3. Пусть — векторное пространство над полем действительных чисел и — линейный оператор на , имеющий в некотором базисе матрицу . Характеристический многочлен этого оператора равен: . Уравнение не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор не имеет собственных значений.

Пример 4. Пусть в предыдущем примере векторное пространство рассматривается над полем комплексных чисел . Тогда характеристическое уравнение оператора имеет 2 корня . Следовательно, оператор имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.


Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Решение. Согласно правилу Крамера, если определитель системы ненулевой, то… .

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в пространстве Rn.

Напомним, что множество элементов пространства Rn, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).

Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rn.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).

Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rn, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rn.

Теорема на лекции доказана.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A):r=def(A)=dimKer(A).

Длялинейного оператора, действующего в пространстве Rn, справедливы следующие утверждения:

1) ранг оператора равен рангу его матрицы;

2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Примеры.

1. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку то

2. Ядро и образ тождественного (единичного) оператора:поскольку , то

3. Ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn-1 параллельно вектору : поскольку , то

4. Ядро и образ оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол p относительно оси вектора : поскольку , то

Матрица линейного оператора

Пусть

, A — линейный оператор в Rn.

Это означает, что в некотором базисе в Rn имют место разложения:

.

Поскольку A — линейный оператор, то

Но следовательно, т.е. — вектор из Rn, компоненты которого — координаты образа базисного вектора

Продолжим вычисления:

Обозначим

.

Тогда т.е. .

Формула связывает вектор-столбец координат образа с вектором-столбцом координат прообраза.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rn

· называется матрицей линейного оператора Aв данном базисе.

Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или Aeобозначение матрицы оператора A в некотором базисе или в базисе .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространстве Rn определен некоторый базис, и — векторы (столбцы) из Rn и , то векторы-столбцы их координат в этом базисе связаны соотношением , где A — матрица оператора A в этом же базисе.

Между множеством линейных операторов, действующих в Rn и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.

Примеры.

Матрица нулевого оператора: поскольку то и, следовательно матрица нулевого оператора — нулевая матрица;

матрица тождественного (единичного) оператора:поскольку , то (единица на i-м месте), и, следовательно матрица тождественного оператора — единичная матрица;

матрица оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn-1 параллельно вектору : поскольку , то и, следовательно у матрицы A оператора проектирования последний столбец нулевой и она имеет вид:

матрица оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол ? относительно оси вектора : поскольку , то и, следовательно у матрицы A оператора пооворота имеет вид:

 

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

Как уже отмечалось, в пространстве Rn существует множество различных базисов.

Пусть и двабазиса в Rn.

Обозначим и координаты векторов и из Rn и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем

— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

 

Действия с линейными операторами

Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.

Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом: .

Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:

Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:

На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.

Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.


ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А: , сопоставляющее каждому элементу некоторый элемент . При этом будем использовать обозначение А или А.

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов из V и произвольного числа выполняются следующие свойства:

1) АА (свойство аддитивности);

2) АА (свойство однородности).

Оператор Е, определяемый равенством Е для любого из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А )–А для всех из V, назовем противоположным.

Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В)А для любого из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением линейного оператора на скаляр α назовем оператор αА, определяемый равенством А)А. Ясно, чтоαА – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2. βА) А.

3. А = А + βА.

4. (А + В) = А + В.

Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В)А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = (А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А. При этом если А только при , то оператор называетсяневырожденным; если же найдется такой вектор , что А, то оператор А – вырожденный.

Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А–1. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и отвечают различные элементы А и А. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

Ядром линейного оператора А из называется множество всех тех элементов пространства V, для которых А. Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА = .

Областью значений линейного оператора А из или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов пространства V, представимых в виде А, где . Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из являются подпростанствами в V.

Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора АrangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dimV = n.

Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерностиn пространства V.

 


Базис и размерность пространства

На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16. Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная… В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Решение.

т.е. ker соответствует подпространству L решений однородной системы линейных…

– Конец работы –

Используемые теги: Список, основных, статей, ной, алгебре0.08

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Список основных статей по линейной алгебре

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Список основных статей по линейной алгебре
Базис и размерность векторного пространства Определение порождает линейно... Билинейное... Векторное пространство Определение для всех для всех...

ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...

Основные макроэкономические понятия. Список основных макроэкономических элементов. Классическая теория
В литературе можно найти много определений экономической теории Вот одно из них Экономическая теория исследует проблемы эффективного... Объект исследования экономической теории называется экономикой... Понятно что составление модели является очень важной частью исследования Вопрос о том что существенно и...

Основная теорема алгебры
Лемма №6. Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.Доказательство… Теперь докажем непрерывность любого многочлена. f(x 0 +x)=a 0 (x 0 +x) n +…+a… Лемма №2 Если дан многочлен n -ой степени, n>0, f(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n с произвольными комплексными…

Основные этапы развития психологии, основные направления развития зарубежной психологии ХIX - XXвв
Идея души выступает в качестве одного из центральных моментов в философских системах Сократа, Платона, Аристотеля. Развитие философии во все последующие века сыграло важную роль в становлении… Однако вместе с развитием психологического комплекса знаний в философии, в области естественно - научного звания,…

Основные методы стат. анализа.
Единицы измерения. В зависимости от сущности явления АВ выражаются в натуральных,… Пример: Добыча нефти в кол-ве 20 млн тонн. Теплота сгорания условного топлива – 29,3 мДж/кг. Теплота сгорания нефти –…

Основные характеристики и классификация CASE-систем. Классификация CASE-систем. Основные подсистемы CASE-систем.
На сайте allrefs.net читайте: Основные характеристики и классификация CASE-систем. Классификация CASE-систем. Основные подсистемы CASE-систем....

Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года
Ранг матрицы. 4.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи. Расширенная матрица системы.Пример.… Пример. 9.Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.… Алгебраическое дополнение элемента.Разложение определителя по строке или столбцу. 13.Сформулировать свойства…

Основные принципы философской мысли Древней Индии, ее основные школы и направления
Однако этапесчинка, ее внутреннее я , ее духовная субстанция очищенная от вульгарнойтелесной оболочки столь же вечна, как и весь мир. И не только… Центр тяжести их религиозной активности приходится на ритуалыжертвоприношений… В брахманах-коментариях делалсяакцент на существование прямой связи между долголетием и бесмертием, с однойстороны, и…

Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...

0.034
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам