Определители высших порядков - раздел Математика, Список основных статей по линейной алгебре Задача 3. Вычислить Определитель
...
Задача 3. Вычислить определитель
.
Решение. Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум строкам. Перечислим все миноры порядка 2, построенные на 1-й и 2-й строках:
1. на 1-м и 2-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+2.
2. на 1-м и 3-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 3-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+3.
3. на 1-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 4-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+4.
4. на 2-м и 3-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 3-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+3.
5. на 2-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 4-го столбца исходного определителя: . Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+4.
6. на 3-м и 4-м столбцах: . Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 3-го и 4-го столбца исходного определителя: </latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+3+4.
Согласно теореме Лапласа, нужно умножить каждый минор на его алгебраическое дополнение и просуммировать результат: .
Задача 4. Вычислить определитель
.
Решение. С помощью перестановки строк приведем определитель к такому виду, чтобы ненулевые элементы стояли на главной диагонали. Последовательно меняя соседние строки, переместим первую строку вниз. При этом будет выполнена перестановка. Поэтому (см.предложение 2).
Таким же образом переместим верхнюю строчку полученного определителя на -е место. При этом будет произведено операции, и определитель примет вид .
Произведя такую процедуру раз, получим определитель . (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили предложение 7.)
Задача 5. Вычислить определитель .
Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу определителя к нижнетреугольному виду. А именно, вычтем из -й строки -ю. Затем из -й -ю, и т.д., наконец, вычтем из второй строки первую. В результате таких преобразований, согласно предложению 6, определитель не изменится, поэтому
.
Теперь, как в предыдущей задаче поменяем строки местами так, чтобы матрица определителя стала нижнетреугольной.
Базис и размерность векторного пространства Определение порождает линейно... Билинейное... Векторное пространство Определение для всех для всех...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Определители высших порядков
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Элементарные преобразования матрицы
Определение 3. Элементарными преобразованиями3) строк матрицы называются преобразования следующих трех типов:
1. перестановка двух строк,
Минорный ранг
Определение 5. Число называется минорным рангом5)
Определение
Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом
Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости сис
Решение.
По определению ядро линейного оператора , или ker
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов