рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Базис и размерность пространства
Реферат Курсовая Конспект
Базис и размерность пространства
Базис и размерность пространства - раздел Математика, Список основных статей по линейной алгебре Так Как В Линейном Пространстве Векторы Можно Складывать И Умножать На Числа,...
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов так же, как это было сделано в разделе "Линейная зависимость векторов". На случай произвольного линейного пространства определения 10.14 и 10.15 переносятся дословно. Предложения 10.6, 10.7, 10.8 переносятся дословно вместе с доказательствами.
На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.
Определение 18.2 Базисом линейного пространства 
называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Пример 18.2 Пусть -- линейное пространство всех многочленов с веществеными коэффициентами. Покажем, что в этом пространстве базис не существует.
Предположим противное. Пусть векторы 
образуют в этом пространстве базис.
Каждый вектор пространства -- это многочлен. Пусть
| |
| |
| |
|
Из степеней многочленов 
выберем наибольшую и обозначим ее буквой 
. Возьмем многочлен 
. Так как 
и векторы образуют базис, то 
, где 
-- вещественные числа. Следовательно, 
является суммой многочленов степеней меньших, чем 
, и поэтому его степень должна быть меньше, чем . С другой стороны, по определению, многочлен имеет степень . Получили противоречие. Значит, предположение о существовании базиса неверно.
Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].
Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из 
векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается 
. Линейное пространство, в котором не существует базис, называетсябесконечномерным.
Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.
Предложение 18.1 Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .
Доказательство. Возьмем систему векторов
Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:
Преобразуем левую часть:
Следовательно,
откуда 
, 
, 
. Итак, система векторов 
-- линейно независима.
Пусть 
-- произвольный вектор пространства, 
Очевидно, что
Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.
Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, обозначается 
.
Предложение 18.2 Пространство столбцов из элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность .
Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается 
.
Пример 18.3 Пространство решений однородной системы линейных уравнений 
имеет базис из 
решений, где -- число неизвестных, а 
-- ранг матрицы 
. Этим базисом служит фундаментальная система решений (см. определение 15.5 и теорему 15.3).
| 01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора | 
| 
| 
|
Пусть  - линейный оператор действующий в линейном пространстве V (комплексном или вещественном)
Определение: Совокупность всевозможных векторов вида  называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом  .
Определение: Совокупность всевозможных векторов  для которых  называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом  .
Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.
Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:
1)  тогда  и т. к  то 
 и т. к.  , то  является подпространством пространства V.
2)  отсюда  .
 является подпространством пространства V. #
Пример:
Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.
1) Тождественный оператор  , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI={θ}
/ ядро состоит из единственного нулевого элемента / 
2) Нулевой оператор , тогда 
3) Рассмотрим оператор дифференцирования  на пространстве  многочленов степени не выше N, тогда  отсюда . Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:
 , что не является случайным.
Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :
Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е. 
Доказательство:
Пусть , причем 
Выберем в пространстве V произвольный базис  . Поскольку по определению  , то можно записать, что  линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов  , причем  , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы  линейного оператора А в базисе, поэтому  .
Рассмотрим ядро оператора А:  .
В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ: , которая, как известно, имеет (N-R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N-R. В результате получаем, что 
Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.
Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу  .
Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.
Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем  . ПоСвойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при  отсюда  откуда  . Т. к. , то отсюда следует, что  .
Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если  .
Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):
Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.
Доказательство:
1) Пусть  , т. к. то  и поэтому  , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.
2) Пусть  . Тогда , т. у.  а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.
|
Линейный оператор 
векторного пространства V задан матрицей А в некотором базисе 
. Найдите ядро и дефект линейного оператора , если
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Список основных статей по линейной алгебре
Базис и размерность векторного пространства Определение порождает линейно... Билинейное... Векторное пространство Определение для всех для всех...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис и размерность пространства
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.053 сек.
Новости и инфо для студентов