Середня арифметична, основні її властивості.

 

 

Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів, то найпоширенішою є арифметична середня, яка розраховується діленням обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.

Середня арифметичназастосовується у формі простої середньої і зваженої середньої.

Середня арифметична простазастосовується в таких випадках, коли всі варіанти зустрічаються один раз, або мають однакові частоти в досліджуваній сукупності. Її отримують шляхом додаванням окремих варіантів і діленням суми на число доданків.

Формула середньої арифметичної простої має вигляд:

 

,

 

де – середнє значення ознаки;

– окремі варіанти ознаки;

n – кількість варіантів.

 

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єднати в групи, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти. Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами – вагами. Сама назва “ваги” відбиває факт різновагомості окремих варіант. Значення ознаки осереднюються за формулами середньої арифметичної зваженої:

1) якщо відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f):

 

 

2) якщо відомо обсяг сукупності (m) та частоти ознаки (f):

 

 

4.
.якщо відомо значення ознаки (Х) та показники частки (f’):

 

 

Приклад.

 

За наступними даними про заробітну плату і чисельність робітників розрахувати середній рівень заробітної плати.

 

Заробітна плата, е с./люд.	Чисельність робітників, люд.
X	f

 

 

Розв’язок

Оскільки за умовою задачі відомо значення ознаки (Х) та частоти ознаки (f), розрахунок буде здійснено наступним чином:

 

 

 

Формально між середньою арифметичною простою і середньою арифметичною зваженою немає принципових відмінностей. Адже багаторазове підсумовування значень однієї варіанти замінюється множенням варіант на вагу. Проте функціонально середня зважена більш навантажена, оскільки враховує поширеність, повторюваність кожної варіанти і певною мірою відображує склад сукупності. Значення середньої зваженої залежить не лише від значень варіант, а й від структури сукупності. Чим більшу вагу мають малі значення ознаки, тим менша середня, і навпаки.

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.