Корреляционно-регрессионный анализ - раздел Математика, Статистика ...
Для изучения взаимодействия признаков используют исследования по типам связей между различными явлениями и их признаками. Различают два типа связей
Корреляционно-регрессионный анализ (КРА) основывается на формах проявления взаимосвязей, используя статистическую связь, а точнее, частный случай стохастической связи – корреляционную.
Корреляционной связью называется такая связь между явлениями и их признаками, когда разным значениям переменных соответствуют различные условные средние значения другой переменной. Для изучения корреляционных связей используют уравнение регрессии, которое представляет собой математическое выражение связи признаков , xi – значения n факторов, базирующееся на изменении условной средней величины результативного признака () с изменением факторов.
•Корреляционный анализ: измеряет тесноту известной связи между факторами и результатом, оценивает факторы, оказывающие наибольшее влияние.
•Регрессионный анализ: осуществляет выбор модели связи, определяет расчетные значения функции, устанавливает степень влияния признаков.
Отсюда, корреляционно -регрессионный анализ осуществляет построение аналитического выражения зависимости признаков, оценивает это аналитическое выражение, оценивает существующие между факторами
и результатом связи, рассчитывает теоретические значения функции.
Классификация корреляционных связей может быть представлена следующим образом:
I. Направление действия – прямая связь (большему значению аргумента соответствует большее значение функции); обратная связь (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
II. Аналитическое выражение – прямолинейная связь (например, описание зависимости от одного фактора с помощью уравнения прямой линии ) и криволинейная связь (другие математические функции для описания зависимости фактора и результата, например, для одного фактора – параболическая , гиперболическая , степенная и т.д.);
III. Количество факторов – однофакторная (парная модель, зависимость от одного фактора) и многофакторная (многомерная модель, зависимость от двух и более факторов)
Уравнение зависимости, выраженное функцией (линейной или нелинейной) и описывающее зависимость условной средней результативного признака от одного факторного - уравнение парной корреляции, а описывающее зависимость результативного от нескольких факторных признаков - уравнение множественной корреляции.
Простейшим уравнением парной корреляции является линейное уравнение: - среднее значение результативного признака, b- вариация результативного признака на единицу факторного, a- теоретическое значение результативного признака при значении факторного, равное 0 (x=0), что на практике чаще всего не имеет никакого экономического смысла.
Для вычисления параметров a и b решается система уравнений:
Можно применять для расчета параметров уравнения методы линейной алгебры (метод Крамера или метод Гаусса), опуская преобразования, получаем формулу для расчета: , тогда на основе свойства средней величины и представленного уравнения . Если значение b положительно, то имеет место прямая связь (с увеличением одной переменной вторая увеличивается), и наоборот, если значение b отрицательно, то связь -обратная (с уменьшением одной переменной вторая увеличивается).
Оценка полученного уравнения может быть выполнена несколькими способами, так для линейного уравнения регрессии существует два основных приема: например, проверка равенства эмпирического коэффициента детерминации и линейного коэффициента корреляции или расчет показателей и () и проверка -критерия (табличные значения t -критерия значимости в зависимости от числа степеней свободы и допустимого уровня значимости a - вероятность получения ошибки). Причем обязательно выполнение следующего условия: >t>.
При линейной корреляционной связи применяют показатель силы связи между изучаемыми признаками - коэффициент корреляции, величина коэффициента корреляции колеблется в пределах: : .
Шкала Чеддока для определения силы связи в зависимости от коэффициента корреляции
Величина
Характер связи
До 0,3
Практически отсутствует
0,3-0,5
Заметная
0,5-0,7
Умеренная
0,7-0,9
Сильная
0,9-0,999
Очень сильная
Для коэффициента корреляции также проверяется существенность, которая определяется на основе расчета t -критерия значимости для tr(, причем tr>t). Коэффициент детерминации (), выраженный в процентах, показывает тесноту связи: какая часть результативного признака обусловлена изменениями факторного. Проверка адекватности построенной модели парной корреляции может быть выполнена сравнением коэффициента корреляции и эмпирического коэффициента детерминации h, причем обязательно рассмотрение автокорреляции (взаимного влияния признаков друг на друга).
Рассмотрим пример: Установить зависимость затрат на ремонт и возраста станка, проверить адекватность аналитического выражения корреляционной связи, оценить направление, силу и тесноту связи.
Номер станка
Возраст станка, лет
Затраты на ремонт, тыс. руб.
1,5
2,0
3,6
4,0
4,7
4,8
5,1
8
6,6
Графическое изображение зависимости представленных в таблице признаков позволяет предположить наличие линейной связи между ними (). По тому, что график является восходящим, можно предположить направление связи, как прямое, что обусловлено и экономическим смыслом представленных показателей.
Для расчета параметров в уравнении построим расчетную таблицу, учитывая, что представленные данные несгруппированы (для расчета средних значений фактора и результата используется средняя арифметическая простая).
Номер станка
Возраст станка, лет
Затраты на ремонт, тыс. руб.
1,5
12,25
8,88
6,44
1,73
0,05
2,0
6,25
5,09
4,15
2,39
0,15
3,6
2,25
0,66
0,19
3,05
0,31
4,0
0,25
0,02
0,00
3,71
0,09
4,7
0,25
0,33
0,44
4,37
0,11
4,8
2,25
1,14
0,58
5,03
0,05
5,1
6,25
2,66
1,13
5,69
0,35
6,6
12,25
8,97
6,57
6,35
0,06
Итого
60,00
32,30
42,00
27,75
19,50
32,30
1,16
.
Для расчета параметров линейного уравнения достроим соответствующие графы, =0,66, =-0,92, получили уравнение парной линейной корреляции . Для оценки адекватности (соответствия) построенной модели необходимо рассчитать коэффициент корреляции и детерминации, в расчете которых используются теоретические значения условной средней, получаемые при подстановке в уравнение линейной корреляции значений результата значений.
Рассчитаем коэффициент корреляции =0,96969 и
коэффициент детерминации =0,96969, равенство rxyи h позволяет сделать заключение об адекватности построенной модели и связи между признаками, из экономического смысла которых можно сделать заключение об отсутствии автокорреляции (затраты на ремонт не влияют на возраст станка). Значение коэффициента корреляции 0,96969 говорит об очень сильной связи между возрастом станка и затратами на его ремонт, причем =94%, т.е. 94% затрат на ремонт зависит от возраста станка.
На практике изучаемый признак подвержен влиянию более, чем одного фактора, но часто существенным признаком является один, поэтому наибольшее распространение в построении моделей получила однофакторная модель.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Корреляционно-регрессионный анализ
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ББК 65.05
Учебное пособие по дисциплине «Статистика» соответствует Государственному образовательному стандарту.
Целью изучения дисциплины является приобретение студентами компетенций в области приме
N По способу измерения
Первичные признаки получены в результате непосредственного измерения, взвешивания и т.д. (например, цена 1 литра молока);
Вторичные признаки получены
Статистическое наблюдение.
Количественная характеристика социально-экономических процессов в непосредственной связи с их качественной сущностью невозможна без глубокого статистического исследования. Использование различных с
Статистические ряды. Сводка и группировка
Статистическая информация – первичный статистический материал о социально-экономических явлениях, формирующихся в процессе статистического наблюдения, который затем подвергается систематизации, сво
Формы представления статистических данных
В результате сбора первичной информации возникает необходимость ее размещения и представления. В статистике различают следующие основные формы представления статистических данных:
- Вкл
Абсолютные величины в статистике.
Массовые социально-экономические явления и процессы изучаются при помощи статистических показателей, их количественной оценки в конкретных условиях места и времени. В результате статистического наб
Относительные величины в статистике, их сущность и виды
В процессе изучения массовых социально-экономических явлений и процессов возникает потребность и необходимость в выявлении определенных особенностей процесса или явления. Для этой цели используют
Структурные средние величины
К структурным средним величинам в статистике относят моду и медиану, они характеризуют структуру совокупности. Вариационные или количественные ряды в статистике делятся на ряды со сгруппированными
Меры вариации, их сущность и роль.
Одной из важнейших задач статистики является измерение вариации статистического показателя. Одной из простейших мер вариации является размах или колеблемость варьирующего признака:
Выборочное наблюдение, оценка генеральных параметров
Статистическая методология исследования массовых явлений различает два способа наблюдения: методом сплошного и несплошного наблюдения. Для исследования части единиц совокупности (проведения несплош
Оптимальный объем выборки. Малая выборка
При планировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важным является определение численности выборочной совокупности, которая с определенной вероятно
Методы изучения связей в статистике
В исследовании социально-экономических явлений и процессов очень важным является статистическое изучение взаимосвязей признаков. Для этого применяют следующие основные приемы:
· Метод с
Непараметрическое методы оценки связей атрибутивных признаков
Методы КРА не универсальны, они применяются для изучения взаимосвязи количественных признаков. Для исследования взаимосвязи атрибутивных признаков используют непараметрические методы. Оценка силы с
Общие индексы количественных и качественных показателей
Изучение изменений по нескольким объектам совокупности или совокупности в целом невозможно на основе индивидуальных индексов, для этой цели используют общие или сводные индексы.
Общие индексы средних величин.
Рассмотрим ситуацию, когда один вид товара или продукции реализуется или производится в нескольких местах. В этом случае сравнение производится на базе системы трех индексов: индексов переменного и
Система взаимосвязанных индексов.
Индексный метод позволяет охарактеризовать динамику сложного явления и оценить влияние отдельных факторов, как было рассмотрено в предыдущей части 7 главы. Из экономической природы статистических п
Объекты макроэкономической статистики
Изученные методы «Теории статистики» позволяют нам перейти к изучению прикладных вопросов статистики, важнейшим направлением которых является макроэкономическая статистика.
Экономическа
Предмет, метод и задачи макроэкономической статистики
Предметом макроэкономической статистики является количественная характеристика массовых социально-экономических явлений и процессов и их результатов, характеризующих состояние, развитие экономики с
Статистика населения.
Социальная статистика имеет следующие основные направления: демографическая статистика; политическая статистика; статистика просвещения и науки; статистика здравоохранения; статистика культуры; ста
Статистика рынка труда
Рынок труда – ограниченная сфера рыночной экономики, выполняющая функцию купли-продажи рабочей силы, соединение вещественных и человеческих факторов производства, поддержания их сбалансирова
Статистика социально-экономического и трудового потенциала
Категории и понятия статистики социально-экономического и трудового потенциала основаны на принятых международными конференциями по труду определениях и рекомендациях МОТ (международная организация
Статистика доходов и уровня жизни населения
Конечная цель развития любого прогрессивного общества – создание благоприятных условий для долгой, здоровой и благополучной в материальном отношении жизни людей. Оценка тенденций в изменении уровня
Система национального счетоводства
Система национальных счетов (СНС)– показатели и классификации, отражающие структуру рыночной экономики, ее институты и механизмы функционирования. Система национальных счетов содержит показатели ре
III. Баланс активов и пассивов.
Активы
Пассивы
1) нефинансовые активы
3) финансовые обязательства
2) финансовые активы
4) чиста
Валовой внутренний продукт, национальный доход: методы расчета
Валовой внутренний продукт (ВВП) – один из основных показателей СНС, характеризует конечный результат производственной деятельности экономических единиц, измеряет стоимость товаров и услуг, произве
Метод конечного использования
ВВП = КП + ВН + (Э – И), где КП – расходы на конечное потребление, ВН –валовое накопление, (Э-И) – сальдо экспорта и импорта.
Расходы на конечное потребление вк
Статистический учет продукции.
Статистический учет продукции в различных направлениях экономики (отраслях) имеет особенности, что представлено на рисунке 7.
Система стоимостных показателей.
Очевидно, что предприятие, производящее продукцию и оказывающее услуги, должно осуществлять отражение своей деятельности. Учесть весь выпуск продукции и оказание услуг в натуральном измерении невоз
Оплата труда
Не менее важными показателями оценки эффективности использования живого труда является оценка оплаты труда. Для выполнения этой оценки необходимо знание состава фонда заработной платы (ФЗП):
Эффективность
Экономическая эффективность – результат сравнения (отношения) экономического эффекта к затратам на его достижение или ресурсам.
В условиях рыночной экономики важное значение имеет у
Производительность труда
К наиболее важным показателям оценки эффективности использования трудовых ресурсов традиционно относят производительность труда, являющейся оценкой эффективности использования живого труда.
Виды основных фондов предприятия и виды их оценки.
Национальное богатство является важнейшим показателем, который отражает уровень развития экономики страны, как совокупность накопленных материальных и нематериальных активов, и результаты накоплени
Доходы и расходы государственного бюджета
Финансовая статистика включает в себя статистику госбюджета, денежно-кредитную статистику, в которой в первую очередь выделяют следующие направления:
ð Статистика денежного спроса, обо
Понятие цены, ее виды
Цена - выражение стоимости товара в денежных единицах определенной валюты за количественную единицу товара.
Статистика цен изучает:
· Цену, как результат денежной эмиссии;
Показатели денежного обращения
Социально-экономическая сущность статистики денежного обращения отражает общественно-производственные отношения физических и юридических лиц (субъектов экономики) в процессе материального производс
Статистика банковской деятельности.
Объектом статистики банков является вся совокупность банковской деятельности. Субъектом статистического анализа являются как сами банки, так и другие кредитные учреждения, реальные и потенциальные
Система показателей кредитов
В рыночной экономике финансирование товарно-экономических операций производится не только с помощью денег, но и посредством предоставления кредита. Финансовая статистика включает в себя не только с
Статистика биржевой деятельности
Основными объектами в изучении фондового биржевого рынка являются биржевые сделки, производимые на нем, а предметом – ценовые и объемные характеристики этих операций. К основным показателям биржево
Статистика страхового рынка
В соответствии с международной классификацией финансовых инструментов, используемых в процессе формирования потоков социально-статистической информации, страховые компании относятся к сектору финан
Оценка внешней экономической деятельности
Внешнеэкономическая деятельность это – внешнеэкономические связи, которые проявляются в процессах экспорта и импорта продуктов и услуг через внешнюю торговлю; международные финансовые операц
Статистика международной торговли
Международная торговля – сфера международных товарно-денежных отношений, представляющая собой совокупность внешней торговли всех стран мира. Характерные черты международной торговли:
Основные формулы исчисления общих индексов
Таблица 1.
Наименование индекса
Формула расчета индекса
Что показывает индекс
Что показывает значение индекса, уменьшенное на 1
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
, xi – значения n факторов, базирующееся на изменении условной средней величины результативного признака (
) с изменением факторов.
) и криволинейная связь (другие математические функции для описания зависимости фактора и результата, например, для одного фактора – параболическая 
, гиперболическая 
, степенная 
и т.д.);
- среднее значение результативного признака, b- вариация результативного признака на единицу факторного, a- теоретическое значение результативного признака при значении факторного, равное 0 (x=0), что на практике чаще всего не имеет никакого экономического смысла.
, тогда на основе свойства средней величины и представленного уравнения 
. Если значение b положительно, то имеет место прямая связь (с увеличением одной переменной вторая увеличивается), и наоборот, если значение b отрицательно, то связь -обратная (с уменьшением одной переменной вторая увеличивается).
и 
(
) и проверка 
-критерия (табличные значения t -критерия значимости в зависимости от числа степеней свободы и допустимого уровня значимости a - вероятность получения ошибки). Причем обязательно выполнение следующего условия: 
: 
.
, причем tr>t). Коэффициент детерминации (
), выраженный в процентах, показывает тесноту связи: какая часть результативного признака обусловлена изменениями факторного. Проверка адекватности построенной модели парной корреляции может быть выполнена сравнением коэффициента корреляции и эмпирического коэффициента детерминации h, причем обязательно рассмотрение автокорреляции (взаимного влияния признаков друг на друга).
8
). По тому, что график является восходящим, можно предположить направление связи, как прямое, что обусловлено и экономическим смыслом представленных показателей.
.
. Для оценки адекватности (соответствия) построенной модели необходимо рассчитать коэффициент корреляции и детерминации, в расчете которых используются теоретические значения условной средней, получаемые при подстановке в уравнение линейной корреляции значений результата значений.
=0,96969 и
=0,96969, равенство rxy и h позволяет сделать заключение об адекватности построенной модели и связи между признаками, из экономического смысла которых можно сделать заключение об отсутствии автокорреляции (затраты на ремонт не влияют на возраст станка). Значение коэффициента корреляции 0,96969 говорит об очень сильной связи между возрастом станка и затратами на его ремонт, причем 
=94%, т.е. 94% затрат на ремонт зависит от возраста станка.
Новости и инфо для студентов