Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. В общем случае ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующегося признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Следует применить формулу простой средней арифметической:
Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную, которую используют, когда значения вариантов встречаются по несколько раз. Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:
где хi — варианты осредняемого признака;
fi — частота, которая показывает, сколько раз встречается i-oe значение в совокупности.
Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующегося признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков у отдельных ее единиц.
Часто при проведении статистических исследований приходится вычислять средние величины по данным вариационных рядов. Если ряд является дискретным, то для вычисления средней нужно значения вариантов умножить на соответствующие частоты и сумму этих произведений разделить на сумму частот.
Для интервального вариационного ряда для каждой группы находится среднее значение интервала как полусуммы его верхней и нижней границ. Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариантов, подлежащих усреднению.
Для моментного ряда с равными интервалами между датами (например, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года) расчет среднего уровня ряда производится по формуле средней хронологической (модифицированная средняя арифметическая):
Определение средней арифметической в ряде случаев сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако процедуру расчета средней можно упростить, если воспользоваться некоторыми ее свойствами:
1) средняя постоянной величины равна ей самой:
А=А
2) произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты;
3) изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину;
4) изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю во столько же раз;
5) изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней;
6) алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна 0;
7) средняя суммы равна сумме средник.