Дәрістің конспектісі
1. Статистикалық бақылаудың нәтижесінде жиналған мәліметтерді дұрыс өңдеп, жинақтаудың әлеуметтік-экономикалық және статистикалық тәжіребиде атқаратын ролі өте жоғары. Бірақ, бұл көрсеткіштер зерттеп отырған қоғамдық құбылыстар мен процестерге талдау жасауға, жиынтық бірліктерін қорытындылауға жеткіліксіз. Кейбір жағдайда осы көрсеткіштер жиынтығының даму, өзгеру заңдылығын зерттеу және сол сандық мәндер жиынтығын дұрыс дәлдікпен көрсету үшін және берілген бірліктерді дұрыс қамту үшін бәріне ортақ негізгі көрсеткіштер жүйесі керек болады. Мұндай көрсеткіштер орташа шама әдісі арқылы алынады және оны, қорытындылаушы көрсеткіш деп атайды.
Орташа шама деп, біртектес жиынтықты белгілі бір жағдайда және белгілі бір уақытта өздеріне тән белгісі бойынша жинақтап көрсететін орташа сан мөлшерін, яғни біртектес жиынтық бірліктерінің орта есеппен алынатын белгісінің барлық бірліктерге жатқызылатын сандық шамасын айтады. Мысалы, шаруашылық бойынша әр гектардан 20 центнер өнім алынған десек, онда бұл көрсеткіш бір жерде 22 центнер, ендігі бір жерде 18 центнер және тағы басқа көрсеткіш ретінде болып кездесуі мүмкін. Бірақ, 20 центнер деген сандық көрсеткіш осы шаруашылықтың орташа өнімділігінің шамасын көрсетеді.
Статистикада орташа шаманы есептегенде және қолданғанда төменде берілген принциптер мен шарттар толықтай орындалуы тиіс:
1) Зерттеп отырған құбылыстың, процестің жиынтық бірліктері біртекті болуы шарт.
2) Орташа шаманы есептегенде оның жеке - дара өзгермелі сандық және сапалық көрсеткіштері толығымен жойылады. Көп сандар заңына байланысты негізгі бөлігінің әрбір бөлікке тән шамасы шығады.
3) Орташа шаманың көрсекіші статистикалық бақылау нәтижесінде жиналған мәліметтер арқылы есептелінеді. Егер бақылау көрсеткіштері неғұрлым көп болатын болса, соғұрлым орташа шама дұрыс шығады және нақты шындықты көрсетеді.
4) Зерттеп отырған құбылыстар мен процестердің жеке бөліктерінің рарсында ауытқу болатын жағдайларда орташа шама қолданылады.
Сонымен, жоғарыда келтірілген принциптер мен шарттарды еске ала отырып, орташа шама тек статистикада ғана емес, басқа да ғылым салаларында, басқару, ғылыми – зерттеу жұмыстарнда көптеп қолданылады.
Статистикада зерттеп отырған құбылыстар мен процестердің негізіне, алдына қойған мақсатына және бастапқы берілген көрсеткіштердің мәніне сәйкес, орташа шаманың бірнеше түрі қолдналады, олар мыналар: арифметикалық, геометриялық, құрылымдық, үйлесімдік және шаршылық(квадраттық) орташа шамалар,
Осы көрсетілген орташа шамаларды қолдану барысында оларды қандай жолмен есептеу керек деген теориялық және тәжірибелік күрделі сұрақтар туады. Олай болса, қолда бар деректердің мәніне сәйкес орташа шаманың қандай түрін пайдалансақ, қарастырып отырған белгі варианттарының орташа мәнін дұрыс табамыз? Мәселе осында. Оны есептеу үшін алдымен әрбір нақты жағдайда осы орташа шама нені білдіретінін, оның қандай шамалардың қатынасы арқылы есептелетінін анықтап алуымыз қажет. Содан кейін есептеп шығарылған орташа шаманың өзіне сәйкес әлеуметтік – экономикалық мағынасы болуы тиіс.
2.Арифметикалық орташа шама жалпы жиынтықтағы өзгермелі белгілердің жеке мәндерінің қосындысы болған жағдайда ғана қолданылады.
Көрсеткіштердің жеке мәндерінің мағынасына қарай жай және салмақталған болып бөлінеді.
Жиынтықта әрбір белгі тек бір рет ғана кездессе, онда орташаның жай түрі қолданылады. Ол мына формула арқылы есептелінеді:
х= 
,
Мұнда, х- орташа шама
х- белгілердің жеке сандық мәндері
n- белгілердің саны
- жиынтықтың белгісі, яғни х- тің қосындысы
Егер жиынтықтың әрбір белгісі бір рет емес, бірнеше рет қайталанатын болса, онда орташа шаманың салмақталған түрі қолданылады. Ол мына формула бойынша есептеледі:
х= 
,
Мұнда, х- орташа шама
х- белгілердің жеке сандық мәндері
f- жиіліктің мәндері
- белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісінің қосындысы
- жиіліктің жалпы саны
Үйлесімдік орташа шама – бұл арифметикалық орташа шаманың кері және өзгертілген түрі.Егер өзгермелі қатардың белгілері (х) мен оның жиілік мәндері (f) берілген болса, онда арифметикалық орташа шама қолданылады. Ал кейбір жағдайда, керісінше, өзгермелі қатардың белгілері (х) мен оның жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) беріліп, жиілік мәндері (f) белгісіз болуы мүмкін. Онда орташа көбейткішті есептеу үшін үйлесімдік орташа шаманы қолдануға болады.
Сонымен, үйлесімдік орташа шама орташаның негізгі қатынасының алымының мәндері белгілі, бөлімінің мәндері белгісіз болған жағдайларда қолданылады. Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер берілген мәліметтердің жиілігі, яғни жиынтықтың саны белгісіз болып, басқа көрсеткіштермен көбейтіндісі берілсе, орташа шаманың үйлесімдік түрі қолданылады.
Үйлесімдік орташа шама берілген мәліметтердің экономикалық маңызы мен мәніне, есептеу тәсіліне қарай жай және салмақталған болып екі түрге бөлінеді. Егер өзгермелі қатардың белгілері мен жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) бірдей болса немесе бірге тең болса, ондай үйлесімдік орташа шаманың жай түрі қолданылады және ол мына формуламен есептелінеді: n
х = ―
∑ −
x
мұнда, х - орташа шама;
n - белгілердің саны;
− - белгілердің жеке сандық мәндерінің кері шамасы;
x
∑ - жиынтық белгісі.
Берілген деректе салмақтаушы белгісіз яғни жиілік мәндері (f) көрсетілмей, белгілердің мәндері мен жиіліктерінің көбейтіндісі (хf) ғана берілетін болса , онда үйлесімдік орташа шаманың салмақтанған түрі қолданылады және төменде берілген формула арқылы көрсетіледі:
х=
х –орташа шама
- белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісінің қосындысы;
х- белгілердің жеке сандық мәндері
- жиіліктің жалпы санын есептеу
Жоғарыда көрсетілген үйлесімдік орташа шаманың формуласын басқа да түрмен өрнектеуге болады. Ол үшін белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісі хf=w деп аламыз, онда жиілігіміз –f=w/х. Енді осы белгілерді арифметикалық орташа шама формуласының орнына қоятын болсақ, онда формула төмендегідей түрге, яғни арифметикалық орташадан үйлесімдік орташаға өзгереді:
Х= 
Қорытынды, егер орташаның негізгі қатынасының алымының мәндері белгілі, ал бөлімінің мәндері белгісіз болса, онда үйлесімдік орташа шаманың формуласы арқылы есептеледі.
3. Арифметикалық және үйлесімдік орташа шамалар жалпы жиынтықтың өздеріне тән өзгермелі белгілері бойынша есептелген қорытындылаушы көрсеткіштер болып саналады. Бірақ, статистскада осы өзгермелі белгілердің бөлінунін қосымша сипаттайтын, суреттейтін орташа сандық шаманы құрылымдық орта деп атайды. Оған жататыны- мода мен медиана.
Статистикалық қатарлардың ішінде ең жиі кездесетін белгінің үлкен шамасын айтады, яғни өзгермелі сандық қатарда жиіліктің үлкен мәні жатқан белгіні мода деп атайды.
Кәсіпорындағы жұмысшылардың орташа айлық еңбекақысын, базарға сатылған тауардың орта бағасын немесе халықтың көп тұтынатын аяқ киімдерінің өлшемін анықтау үшін модалық орташа шаманы қолданамыз.
Егер статистикалық қатарлардың белгісі бүтін сан шамасымен берілетін болса, онда сол берілген белгінің ең үлкен жиілік мәні жатқан қатар мода болып саналады. Мұндай жағдайда моданы анықтаудың ешқандай да қиыншылығы жоқ.
Егер статистикалық қатарлар белгілерінің ең үлкен жиілік мәні бірдей екі сандық көрсеткішпен берілсе, онда модалық белгі екеу болады. Ал, жиілік мәндері бірдей бірнеше белгі берілетін болса, онда модалық көрсеткіш болмайды.
Кейде, қатар белгілері бүтін сан емес, деңгейаралықты шамамен берілуі мүмкін. Олай болса алдымен ең үлкен жиілік мәні бар қатарды анықтаймыз, содан кейін модалық белгінің деңгей аралығының айырмасын есептейміз, ол модалық қатардың үлкен мәнінен кіші мәнін алғанға тең болады. Енді статистикалық формуланы қолдану арқылы модалық орташа шаманы есептеп табамыз.
Статистикада мода М0- әрпімен белгіленеді және деңгей арлықты қатар берілген болса, төмендегі формула арқылы белгіленеді:
М0= хмо+ dмо 
Мұнда, хмо - модалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні
dмо - модалық қатардың деңгей аралығының айырмасы
fмо - модалық қатардың жиілігі
fмо-1 - модалық қатардың алдыңғы қатарлы жиілігі
fмо+1 - модалық қатардың кейінгі қатар жиілігі.
Медиана деп статистикалық өзгермелі қатардың ортасында жатқан белгіні айтады.
Статистикада медиана Ме- әрпімен белгіленеді және оны есептеп табу берілген сандық белгілердің мәніне байланысты.
Егер статистикалық қатардың белгісі бүтін сан шамасында берілетін болса, онда медиананы анықтау үшін белгінің рет санына 1ді қосып , одан шыққан қосындыны екіге бөлеміз. Ол мына формула арқылы есептелінеді:
Ме=
Мұнда, n- статистикалық қатарлар саны.
Егер қатарлардың белгісі бүтін санмен және жиілікпен берілетін болса онда медиананы есептеу үшін жиіліктің жинақталған қосындысын теңдей етіп екіге бөліп , одан шыққан көрсеткішке ½ қосамыз.
Егер статистикалық қатарлардың белгісі деңгей аралықты шамамен берілсе, онда алдымен медианалық қатарды анықтаймыз. Ол үшін бірінші қатардағы жиілікке екінші қатардың жиілігін қосамыз. Содан соң осы қосындыға келесі топтардың жиіліктерін біртіндеп қосып, жинақталған жиілік қосындысын есептейміз. Мұнда медиана жинақталған жиілік қосындысының жартысы немесе одан көбірек мәні жатқан қатарға дәл келеді.
Деңгей аралықты қатардан медиананы есептеу үшін төменде берілген формула қолданылады:
Ме= Хме+dме
,
Хме- медианалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні
dме- медианалық қатардың деңгей аралығының айырмасы
медианалық жиіліктің қосындысы
Sме-1- медианалық қатардың алдыңғы қатардағы жинақталған жиілік қосындысы.
Сонымен, мода мен медиана өзгермелі қатардың құрылымын қарастырушы және сандық белгілер жиынтығының мәні мен мағынасын сипаттаушы , бірақ, қорытындылаушы орташа шаманы алмастыра алмайтын көрсеткіштер болып саналады.
4. Біз қоғамдық құбылыстарды ,процестерді зерттеу кезінде әр түрлі статистикалық шамаларды қолданамыз. Және ол көрсеткіштер өз артықшылықтарымен , кемшіліктерімен ерекшеленеді. Мәселен , орташа шамалар жалпы жиынтықты өзгермелі белгілері бойынша барлығына ортақ сандық шамамен сипаттаай алғанмен, жиынтық белгілерінің ішкі құрылымына, өзгерісіне әсер ететін түрлі себептерді ашып көрсете алмайды.
Осы жерде статистикалық өзгермедеген термин пайдаланылады. Бұл жиынтыққа бірліктерінің белгілеріндегі сандық өзгерістер. Сонымен қатар онымен бір белгінің сан мөлшерінің өзгермелілігін, құбылмалылығын көрсетуге болады.
Өзгерме көрсеткіштерінің де жай және салмақталған түрі қолданылады: егер сандық қатардың орташа мәні арифметикалық орташа шаманың жай түрімен есептелсе , онда өзгерме көрсеткіштері де жай , ал салмақталған түрімен есептелсе, салмақталған болып саналады.
Өзгерменің негізгі көрсеткіштері мыналар :
Өзгерменің өрісі — белгілердің бір-бірінен сандық шамамен қаншаға өзгергендігін көрсететін көрсеткіш. Ол яғни сандық қатар белгілерінің ең үлкен және ең кіші мән шамаларының арасындағы айырмашылық. Өзгерме өрісі әрпімен белгіленіп, мына формуламен анықталады:
R = X көп — Xаз
Алайда бұл көрсеткіштің де кейбір кемшіліктері бар :
— өзгерме өрісі белгінің ең шеткі екі сандық мәнімен есептелетіндіктен , белгілер құрыылымындағы ауытқуларды толық көрсете алмайды.
— сандық қатардың жиілік көрсеткіштері есепке алынбайды.
Соңғы кемшілікке байланысты өзгерменің келесі негізгі көрсеткіштері қолданылады.
Орташа сызықтық ауытқу — ауытқудың нақты арифметикалық орташа шамасы.Ол сигма Đ әрпімен белгіленіп, мына формуламен есептелінеді:
Đ = ∑ ( x – ¯ x ) / n жай түрі ,
Đ = ∑ ( x–¯x ) / ∑ f салмақталған түрі.
Мұнда X — белгілердің жеке сандық мәні
X — белгілердің орташа шамасы
N —белгілер саны
F — жиілік көрсеткіштерінің жеке мәні
∑ — қосынды немесе жинақтау белгісі
Кейбір кезде белгілердің орташа шамадан ауытқу қосындысы әрқашан нольге тең болады. Соған байланысты статистикалық өзгерме көрсеткіштерін есептегенде кейбір математикалық қасиеттердің қолдану тәсілдеріне өзгерістер енгізіледі: олар бірін – бірі жойып жібермеу үшін қосындыны модульге аламыз. Бұл — әр қатардағы ауытқудың таңбасына қарамай , олардың нақты шамасын қосу арқылы есептеу деген сөз.
Математикалық таңбаны есепке алмау — ауытқу мөлшерін дәл әрі нақты есептеуде кемшілікке әкелуі мүмкін. Яғни бұл атаулы көрсеткіштің кемшілігі.
Сондықтан статистикада белгілердің ауытқу мөлшерінн айқын көрсету үшін “ шашыранды ( дисперсия )” және “ орташа шаршылық ауытқу” деген өзгерме көрсеткіштері қолданылады.
Шашыранды немесе дисперсия — орташа сызықтық ауытқудың алымындағы жақша ішіндегі көрсеткіштерді дәрежелеу. Ол гректің ά ^ 2 әрпімен белгіленіп , төмендегідей анықталады :
ά ^ 2 = ∑ ( x —¯x ) ^ 2 / n жай түрі
ά ^ 2 = ∑ ( x—¯x ) ^ 2 / ∑ f салмақталған түрі
Мұнда ауытқу көрсеткіштері дәрежеленетіндіктен , шашыранды орташа сызықтық ауытқудан артық болады. Сондықтан өзге көрсеткіштермен салыстыру кезінде оны түбірге алып орташа шаршылық ауытқуға айналдырамыз.
Орташа шаршылық ауытқу осыдан келіп шығатынын аңғарамыз, яғни түірлеу негізінде алынған шашыранды. Ол ά әрпімен беріліп , келесі формуламен есептелінеді :
Мысалы ,ά=√ ά ^ 2 = √ ∑ ( x —¯x ) ^ 2 / n = √ 1600 = 80 бұл жай түрі
ά=√ ά ^ 2 = √ ∑ ( x —¯x ) ^ 2 / ∑ f = √50000 = 233,6 ≈ 234
бұл салмақталған түрі.
Өзгерменің коэфициенті─салыстыру үшін қолданылатын қатысты көрсеткіш . Яғни орташа шаршы ауытқу көрсеткішін арифметикалық орташаға бөлумен анықталады. Латынның V әрпімен белгіленеді. Формуласы :
V = ά / ¯x · 100
Өзгерме коэфициентінің өлшем бірлігі процентпен беріледі және ол жиынтықтың құбылысын нақты сипаттайды.
Қорытынды:
Тақырыпты қорытындылайтын болсақ, жоғарыда көрсетілген орташа шамалардың және өзгерменің көрсеткіштерінің формуласының қайсы түрін қолдану керек екендігін нақты анықтау үшін олардың мәні мен ерекшеліктерін талдай білу қажет. Олардың статистикалық есеп жүргізу барысында маңыздылығын анықтап, қажет кезінде керектісін таңдау керек. Орташа шамалар мен өзгерменің көрсеткіштері статистикалық есептің қорытынды және маңызды бір бөлігі болып табылады.
Дәріске әдістемелік нұсқау:
Дәрістің тақырыбымен жұмыс жасау барысында статистикалық зерттеудің үшінші кезеңінде қолданылатын орташа шамалардың және өзгерменің көрсеткіштерінің маңыздылығын ашу қажет. Олардың түрлерінің әрқайсысын нақты білу үшін және ерекшеліктерін талдау үшін әдебиеттердегі осы тақырыптарды тереңдетіп оқу қажет.
Негізгі әдебиеттер:
1.Громыко Г.Л. «Статистика». Издательство МГУ, 1976
2.Гольдберг А.М., Козлов В.С. «Общая теория статистики». М. 1997
3.Елисеева И.И., Юзбашев М.М. «Общая теория статистики». М. Финансы и статистика, 1996
Қосымша әдебиеттер:
1.Ефимов М.Е., Рябцев В.М. «Общая теория статистики». М. 1991
2.Левин А.Е. «Статистика». М. 1984
3.Рябушкин Т.В., Ефремов М.Р. «Общая теория статистики». М. 1981
4.Сураганова С.К. «Общая теория статистики». Астана. 1998
5.Шмойлова Р.А. «Практикум по теории статистики». М. Финансы и статистика, 2000
6.Ызғарбек Әміре-ұлы «Статистиканың жалпы теориясы». Алматы. Экономика, 1998