Средняя гармоническая величина - раздел Математика, СТАТИСТИКА. КУРС ЛЕКЦИЙ Если По Условиям Задачи Необходимо, Чтобы Неизменной Оставалась При Осреднени...
Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Иными словами, если неизвестен знаменатель в определении средней величины, то используют формулу средней гармонической.
Формула гармонической средней такова:
- простая (для негруппированных данных)
- взвешенная (для группированных данных)
Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада доехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком - со скоростью 60 км/ч. какова средняя скорость автомобиля за обе поездки? Пусть расстояние перевозки составило s км. Никакой роли при расчете средней величины расстояние s не имеет. Здесь главное, чтобы при замене скоростей х1 = 60 км/ч и х2 = 40 км/ч на среднюю величину необходимо, чтобы неизменным оставалось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой.
Время поездок есть s/x1 + s/x2. Итак, имеем s/+ s/= s/x1 + s/x2. Сократив все члены равенства на s, получим 1/+ 1/= 1/x1 + 1/x2, т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя известные значения, получаем:
Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, так как приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно, например, 96 км, то реальное время составит: 96/60 + 96/40 = 1,6 + 2,4 = 4 ч.
То же время дает гармоническая средняя: (96 ∙ 2) / 48 = 4 ч.
Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень k-той степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в к-й степени на число индивидуальных значений:
При к=1 получаем арифметическую среднюю, при к=2 - квадратическую среднюю, прик=3 - кубическую, при к=0 - геометрическую, при к= -1 - гармоническую. Чем выше показатель степени к, тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то все средние равны этой константе. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:
Посмотрим, как работает это правило на примере.
Допустим , студент получил в сессию две оценки 2 и 5. Каков его средний балл?
Если судит по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если вычислить среднюю гармоническую, то она уже будет равна
и студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако, если мы вычислим среднюю кубическую величину, то получим:
И студент уже выглядит хорошистом. И только если студент провалил оба экзамена, статистика помочь уже не сможет.
Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. Главное требование к формулам расчета среднего значения состоит в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержание: полученное среднее значение может заменить все индивидуальные значения признака без нарушения связи индивидуального и сводного показателя. Итоговый сводный показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. При выборе показателя используют следующее правило: определяют три взаимосвязанных показателя, включая и тот, по которому требуется рассчитать среднее значение. Если имеются первичные данные по двум каким-либо показателям из этого списка, то отсутствующий третий и будет определяющим. Если имеются данные по всем трем, то исследователь вправе использовать формулу как средней арифметической , так и средней гармонической, результат должен совпасть.
Покажем применение этого правила на примере. Пусть известны цены товара одного и того же наименования по каждому из n торговых заведений. Требуется определить общую среднюю цену товара. Обозначим индивидуальные уровни цен как р1, р2, …, рn, а среднюю цену как . В качестве итогового сводного показателя выберем общую сумму фактической выручки от реализации V. Тогда , где vi – объем выручки, полученный от реализации товара по каждой отдельной торговой точке. Так как для каждого торгового заведения объем реализации равен произведению цены рi на количество фактически проданного товара в натуральном выражении (qi), то получаем:
В этом выражении индивидуальные значения цены заменены общим средним уровнем цены. Следовательно из последнего уравнения имеем:
В числителе – суммарный объем реализации в денежном выражении по всем торговым точкам, а в знаменателе – общий объем реализации продукции в натуральном выражении. Полученное выражение – формула средней арифметической взвешенной.
Если в качестве определяющего показателя взять общий объем реализации в натуральном выражении, то получаем:
Следовательно, , где vi – объем реализации, полученный каждой торговой точкой.
Таким образом, если кроме индивидуальных значений признака (в нашем случае индивидуальные цены) имеются данные о фактических объемах реализации в стоимостном выражении, то расчет проводят по формуле средней гармонической взвешенной.
В нашем примере можно выделить три взаимосвязанных показателя:
- объем выручки от реализации товара (руб.);
- реализация продукции (шт.);
- цена (руб./шт.).
В 1-м случае предполагалось, что не указан объем реализации в денежном выражении, но известны данные по объему продаж (qi, шт) и ценам (рi, руб/шт), что привело к формуле средней арифметической взвешенной. Во втором случае предполагалось, что отсутствуют данные о реализации продукции в натуральном выражении – в итоге получили формулу средней гармонической.
Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень к-той степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в к-й степени на число индивидуальных значений:
Все виды средних можно представить в следующей таблице:
РАЗДЕЛ I ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА... Тема Статистика как наука Методы статистики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Средняя гармоническая величина
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Общее понятие статистики. Предмет статистики.
Слово "статистика" происходит от латинского слова status - состояние, положение вещей. Первоначально оно употреблялось в значении "политическое состояние". Отсюда и итальянское
Статистическое исследование. Методы статистики
Статистика изучает совокупности однокачественных явлений в конкретных условиях места и времени. И, следовательно, статистика располагает всегда ограниченным числом данных. Каждое явление возникает
Статистическое наблюдение. Виды статистического наблюдения.
Статистическое наблюдение - это массовое, планомерное, научно организованное наблюдение за явлениями экономической и социальной жизни. Это наблюдение может проводиться органами государственной стат
Понятие о системах статистических показателей
Как правило, изучаемые статистикой процессы и явления, достаточно сложны и поэтому их сущность не может быть выражены в отдельном показателе. В таких случаях используют систему статистических показ
Статистические таблицы
Статистические данные должны быть представлены так, чтобы ими можно было пользоваться. Существуют три способа представления данных: они могут быть включены в текст, представлены в таблицах или выра
Основные виды графиков
Иногда статистические таблицы дополняются графиками, когда ставится цель подчеркнуть какую-то особенность данных, провести их сравнение. Графики являются самой эффективной формой представления данн
Карты и картограммы.
Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения графической характеристики изучаемых явлений. Они показывают размещение изучаемого явления, его интенсивность на определенной территории - в
Значение и сущность группировки. Построение группировки
Изучаемые статистикой массовые явления и процессы протекают в множествах элементов (единиц) некоторого вида, или совокупностях. Определить совокупность – значит определить входящие в нее элементы,
Виды группировок
В зависимости от числа положенных в основание группировки признаков различают простые и многомерные группировки.
Простой называется группировка, выполненная по одному признаку. Среди прост
В апреле 1994 г.
Группа населения по размеру среднедушевого денежного дохода, тыс. руб. в месяц
Численность населения
Всего млн. ч.
% к итогу
По сумме активов баланса (данные условные)
Группа банков по сумме активов баланса, млн. руб.
Количество банков, единиц
В среднем на один банк
Численность занятых, человек
И числу детей в 1989 г.
(по материалам переписи населения)
Группа семей по месту проживания
В том числе подгруппа семей по числу детей
Число семей, тыс.
Многомерные группировки
Группировка, осуществляемая одновременно по комплексу признаков называется многомерной. Характеристика одной и той же стороны изучаемого явления может быть дана с помощью набора пр
Понятие средней арифметической
Виды средних величин отличают, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
Средней ари
Виды средней арифметической
Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимаются середины этих интервалов, т
Свойства арифметической средней
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.
Доказательство:
Средняя геометрическая величина
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то применяют среднюю геометрическую величину. Её формула так
Вариации массовых явлений. Построение вариационного ряда
Составной частью сводной обработки данных статистического наблюдения является построение рядов распределения. Как мы уже говорили ранее, в зависимости от того, является признак, взятый за основу гр
Показатели размера и интенсивности вариации.
Абсолютные средние размеры вариации. Следующим этапом изучения вариации признака в совокупности является измерение характеристик величины вариации. Простейшим из них служит
Закономерности распределения.
В приведенном примере можно заметить определенную зависимость между изменением варьирующегося признака и частот. Частоты в этих рядах с увеличением значения признака первоначально увеличиваются, а
Тема 6. Выборочное наблюдение.
1. Способы формирования выборочной совокупности. Виды выборки.
2. Ошибка выборки.
3. Определение необходимой численности выборки.
4. Малая выборка.
Ошибка выборки
Развитие современной теории выборочного наблюдения началось с простой случайной выборки.
В процессе проведения выборочного наблюдения, как и вообще при анализе данных любого обследования в
Определение необходимой численности выборки.
Средняя квадратическая (стандартная) ошибка выборки зависит от объема выборки и степени вариации признака в генеральной совокупности. Уменьшение стандартной ошибки выборки, а следовательно увеличен
Малая выборка
Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при n > 100 получается несоответствие между табличными данными и ве
Понятие о статистической и корреляционной связи
Невозможно управлять явлениями, предсказывать их развитие без изучения характера, силы и других особенностей связей. Поэтому методы измерения связей составляют важную часть статистического анализа.
Множественная (многофакторная) регрессия.
Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной регрессии. При исследовании зависимостей методами множественной регрессии задача формулируется так
Оценка тесноты связи.
Измерение тесноты и направления связи между признаками предлагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множес
Проверка значимости параметров регрессии.
Проверка статистической значимости всех параметров, полученных в процессе корреляционно-регрессионного анализа, основывается на предположении, что все эти параметры, а точнее, их значения являются
Методы выявления типа тенденции динамики
Ряд динамики может быть подвержен влиянию различных факторов. Под действием эволюционных факторов происходят изменения, которые определяют общие направления развития, называемые тенденцией или т
Методика измерения параметров тренда
После того как установлено наличие тенденции в ряду динамики производится её описание с помощью уравнений, отражающих те или иные качественные свойства развития. Эта процедура называется методом сг
Методика изучения и показатели колеблемости
Если при изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играют лишь роль помех, то в дальнейшем они сами становятся предметом статистического исследования. Типы колебаний весьма разнообр
Прогнозирование на основе тренда
Методика статистического прогноза по тренду и колеблемости основана на их экстраполяции, т.е. на предположении, что параметры тренда и колеблемости сохраняться до прогнозируемого периода. Такая экс
Агрегатные и средние индексы
Агрегатный индекс – сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов. Латинское слово «агрега
Средние индексы
Помимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма – средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать об
Индексы структурных сдвигов
При изучении динамики качественных показателей приходится определять изменение средней величины индексируемого показателя, которое может быть вызвано действием двух факторов – изменением значения и
Индексы пространственно-территориального сопоставления
В статистической практике часто возникает потребность в сопоставлении уровней экономического явления в пространстве: по странам, экономическим районам, , областям, т.е. в исчислении территориальных
Границы и условия применения индексного метода
Индексный метод предполагает, что связь между признаками является жестко детерминированной, которая проявляется как в каждом отдельном случае (для отдельного товара, вида продукции, предприятия), т
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
- простая (для негруппированных данных)
- взвешенная (для группированных данных)
+ s/
. В качестве итогового сводного показателя выберем общую сумму фактической выручки от реализации V. Тогда 
, где vi – объем выручки, полученный от реализации товара по каждой отдельной торговой точке. Так как для каждого торгового заведения объем реализации равен произведению цены рi на количество фактически проданного товара в натуральном выражении (qi), то получаем:
, где vi – объем реализации, полученный каждой торговой точкой.
Новости и инфо для студентов