ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

В.М.МАЦКУЛ

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА.

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

для студентів ОДЕУ денної форми навчання усіх спеціальностей

 

Одеса 2010

УДК 519.2 ББК 22.17я73 М 36

ТеМА №1

Вступ.

2. Елементи комбінаторики.

3. Класифікація подій.

4. Класичне означення імовірності.

5. Статистичне означення імовірності.

6. Геометричне означення імовірності.

Задача будь-якої науки полягає у з’ясуванні та дослідженні закономірностей, яким підкоряються реальні процеси. Виявлення та дослідження закономірностей економічних процесів мають як теоретичне, пізнавальне значення так і широке застосування у плануванні, управлінні та прогнозуванні. Зазвичай на економічні та соціально-економічні процеси впливають різноманітні фактори. У переважній більшості випадків закономірності можуть бути виявлені при цілеспрямованому статистичному дослідженні масових явищ, яке полягає у збиранні даних, їх систематизації і упорядкуванні. Оскільки спостережуваний процес або явище підлягають впливу множини факторів, то їх індивідуальні прояви будуть різнитися. Тільки у масових сукупностях об’єктів спостережень проявляються загальні закономірності, у формування яких кожна одиниця сукупності вносить свій «вклад».

Теорія імовірностей – це розділ математики, який вивчає закономірності масових випадкових явищ. Її предметом є дослідження взаємозв’язків між випадковими подіями, характеристик величин, числові значення яких змінюються в залежності від випадка, закономірностей поведінки масивів таких випадкових величин. Основним методом теорії імовірностей є побудова ймовірносних моделей, які є частинними випадками математичних моделей.

Предметом математичної статистики є засоби та прийоми наукового аналізу даних, що відносяться до масових явищ, з метою визначення деяких узагальнюючих ці дані характеристик і виявлення статистичних закономірностей. Основним методом є вибірковий метод.

Елементи комбінаторики.

Уявимо собі деяку сукупність елементів певної природи – множину. Досить поширеними є задачі складання із елементів скінченних множин комбінацій (або груп) за певними правилами відбору елементів у ці комбінації.

Задачі визначення кількості комбінацій та пошуку алгоритмів для побудови таких комбінацій відносяться до основних задач розділу математики, що називається комбінаторним аналізом або комбінаторикою.

Основними правилами комбінаторики є:

Правило добутку. Нехай потрібно виконати одна за одною деякі дій. Якщо кожну із цих дій можна виконати способами, то усі дій разом можуть бути виконані способами.

Для скінченних множин: якщо маємо дві множини . Тоді множина усіх можливих пар містить елементів.

Правило суми. Якщо дві дії взаємно виключають одна одну, причому одну із них можна виконати способами, а іншу - способами. Тоді виконати хоча б одну із цих дій можна способами.

Для скінченних множин: якщо для двох множин і (див.вище) , то множина містить елементів.

Приклади: а) із міста А у місто В вантаж можна доставляти 6 шляхами, а з міста В до міста С – 4 шляхами (див. рис.а) ). Скількома маршрутами можна доставити вантаж з міста А до міста С?

б) додамо до попередніх умов місто Г (див.рис.б) ). Скількома маршрутами можна доставити вантаж з міста А до міста С?

в) банк пропонує наступні кредити: 5 піврічних під 20% річних, 3 річних під 25% річних та 4 півторарічних під 30% річних. Скількома способами можна взяти два різних кредити?

 

 

Рис. а)

		А
				С

 

 

Рис. б)

 

Розв’язування:

а) вибравши один із 6 шляхів з А до В, далі можемо доставляти вантаж одним із 4 шляхів із В до С. За правилом добутку дістанемо різних маршрутів доставки вантажу із А до С.

б) можливі випадки: маршрут доставки проходить через місто В або через місто Г. Для кожного із цих випадків за правилом добутку відповідна кількість маршрутів дорівнює 24 та 6. За правилом суми загальна кількість можливих маршрутів доставки вантажу із А до С становить .

в) можливі три варіанти: перший – взяти піврічний і річний кредити, другий – піврічний і півторарічний, третій – річний та півторарічний. Для кожного із цих варіантів за правилом добутку неважко підрахувати кількості можливостей: 15, 20 та 12. За правилом суми остаточно дістаємо загальну кількість способів: 15+20+12=47.

Переставлення (перестановки).

Нехай потрібно підрахувати число способів, за якими можна розмістити в ряд елементів множини, тобто кожне розміщення є скінченною множиною, елементи… Скінченні множини, для яких істотним є порядок елементів, називають… Означення. Будь-яка впорядкована множина, що складається із елементів називається перестановкою із елементів.

Приклади.

1.Для довільної події :; 2.Для достовірної події :. 3.Для неможливої події : .

Приклади.

Означення. Імовірність події дорівнює: , де- геометрична міра простору елементарних подій,

Приклади.

Означення.Нехай проводиться випробувань (які можна повторювати при незмінних умовах необмежено). Частотою називається кількість випробувань (із ) ,… Означення. Статистичною імовірністю події називають число, що характеризує… .

Приклади.

ТеМА №2

2. Умовна імовірність. 3. Теорема добутку та наслідки з неї. 4. Теорема додавання та наслідки з неї.

ТЕМА №4

2. Формула Бернуллі. 3. Біноміальний закон розподілу (закон Бернуллі). 4. Числові характеристики біноміально розподілених ВВ. Найімовірніша частота (мода). Локальна теорема Лапласа.

ТЕМА №5

2. Диференціальна функція розподілу та її властивості. 3. Числові характеристики неперервних випадкових величин (НВВ). 4. Закон рівномірного розподілу.

ТЕМА №6

1. Закон великих чисел. Нерівності Маркова та Чебишова. Частинні випадки нерівності Чебишова.

2. Збіжність за імовірністю. Теорема Бернуллі. Теорема Чебишова.

Центральна гранична теорема.

  Група теорем, які встановлюють відповідність між теоретичними та…  

Система випадкових величин.

3. Функції розподілу двохвимірної ВВ. Залежність та незалежність ВВ. 4. Числові характеристики двохвимірної ВВ. 5. Функції ВВ та їх характеристики.

ТЕМА №8

2. Способи відбору. Проста випадкова вибірка. Впорядкування даних та їх розподіл. 3. Числові характеристики статистичних розподілів. 4. Точкові та інтервальні оцінки параметрів статистичних розподілів, вимоги до цих оцінок.

ТЕМА №9

1. Статистичні гіпотези та їх різновиди. Похибки перевірки гіпотез.

2. Критерії узгодження для перевірки гіпотез. Критична область та її знаходження.

3. Критерій узгодження Пірсона «хі-квадрат»( ).

Приклади.

Часто необхідно знати закон розподілу ознаки у генеральній сукупності. Наприклад, є підстави вважати, що він має вигляд А. Тоді висувають гіпотезу… Означення. Статистичниминазивають гіпотези про вигляд розподілу генеральної… Наприклад, статистичними будуть гіпотези: а) генеральна сукупність розподілена за нормальним законом; б) дисперсії…

ТЕМА №10

1. Функціональна, статистична та кореляційна (регресійна) залежності. 2. Проста лінійна регресія. Основні положення. 3. Оцінка щільності зв’язку між змінними. Коефіцієнт кореляції.

Прогнозування.

. При інтервальному оцінюванні застосовується -розподіл Стьюдента з ступенями… ,

ТЕМА №11

2. Кореляційна матриця та її вибіркова оцінка. 3. Оцінка взаємозв’язку змінних. Перевірка значущості рівняння множинної… Множинний регресійний аналіз. Багатофакторна лінійна регресія.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №1

7. Елементи комбінаторики.

8. Класифікація подій.

9. Класичне та статистичне означення імовірності.

10. Алгебра подій.

Теорема добутку.

Приклад 1.1. Дана множина . Випишіть усі можливі перестановки, розміщення та комбінації. Підрахуйте їх кількість та порівняйте із розрахунками за… Приклад 1.2. Опишіть простір елементарних подій для наступних випробувань: а)… б) постріли по мішені до першого влучення.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №2

Теореми добутку (продовження) та суми.

3. Формула Байєса. ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ.  

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3

2. Операції над ДВВ. 3. Числові характеристики ДВВ та їх властивості. 4. Метод моментів для обчислення МС та дисперсії.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4

12. Незалежні повторні випробування (НПВ). Формула Бернуллі.

13. Біноміальний закон розподілу (закон Бернуллі).

Локальна формула Лапласа, формула Пуассона.

ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ. Приклад 4.1. В середньому 30% пакетів акцій продаються на аукціоні за… Приклад 4.2. За статистичними даними податкових інспекцій кожне третє із 1000 малих підприємств регіону має порушення…

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5

2. Щільність розподілу імовірностей (диференціальна функція) та її властивості. 3. Числові характеристики НВВ. 4. Деякі закони розподілу НВВ (рівномірний, показниковий, нормальний).

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6

1. Закон великих чисел. Нерівності Маркова та Чебишова. Частинні випадки нерівності Чебишова.

2. Збіжність за імовірністю. Теорема Бернуллі. Теорема Чебишова.

Центральна гранична теорема.

ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ   Приклад 6.1. Середня кількість викликів, які потрапляють на мініАТС протягом години, дорівнює 300. Оцініть імовірність…

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №7

Система випадкових величин.

3. Функції розподілу двохвимірної ВВ. Залежність та незалежність ВВ. 4. Числові характеристики двохвимірної ВВ. 5. Функції ВВ та їх характеристики.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №8

2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів статистичних розподілів, вимоги до цих оцінок. 3. Основні формули інтервального оцінювання. Три типи задач вибіркового…  

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №9

2. Критерії узгодження для перевірки гіпотез. Критична область та її знаходження. 3. Критерій узгодження Пірсона «хі-квадрат»( ). 4. Індивідуальне завдання №1.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №10

6. Проста лінійна регресія. Основні положення. 7. Оцінка щільності зв’язку між змінними. Коефіцієнт кореляції. 8. Адекватність моделі. Прогнозування.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №11

2. Оцінка взаємозв’язку між змінними. Матриця коефіцієнтів парної кореляції. 3. Адекватність моделі. Виключення факторів. 4. Індивідуальне завдання.