Чтобы осуществить проверку гипотезы о виде функции распределения с помощью критерия согласия (Пирсона), надо придерживаться следующей схемы расчетов.
1) По выборке строим гистограмму, произведя, если в этом есть необходимость, «укрупнение» интервалов по указанному ранее принципу. Пусть - окончательное число интервалов группирования.
2) Задаемся видом гипотетической функции распределения, исходя из анализа гистограммы. Для каждого из параметров этого распределения находим оценки, причем эти оценки можно определять как по исходным данным, так и по сгруппированным данным.
3) Определяем теоретические вероятности попадания в каждый из интервалов случайной величины с заданным распределением, параметры которого или известны или оценены в п.2).
4) Задавшись уровнем значимости и числом степеней свободы по таблице - распределения находим критическую точку правосторонней критической области.
5) Находим наблюдаемое значение критерия по предложенной ранее формуле.
6) Сравним значения и и выносим решение о принятии (если ) или отклонении (если ) рассматриваемой гипотезы о виде функции распределения.
Пример 12.По результатам первичной обработки статистических данных с.в. Х – отклонение показаний источника напряжения от номинального подобрать соответствующее теоретическое распределение и на уровне значимости проверить гипотезу о согласованности этого распределения с эмпирическим с помощью критерия .
| Отклонение напряжения | ||||||||
Решение.По виду полигона распределения изучаемой с.в. Х (см. рис.3) можно предположить нормальный закон распределения признака Х с плотностью распределения
.
Это гипотетическое распределение содержит два неизвестных параметра а и , являющихся соответственно математическим ожиданием и дисперсией с.в. Х. Поэтому основную гипотезу словесно можно сформулировать следующим образом: является функцией нормального распределения с параметрами и
Для проверки этой нулевой гипотезы найдем точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального распределения случайной величины.
Эти неизвестные параметры заменяем наиболее правдоподобными оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соответственно выборочной средней и «исправленной» выборочной дисперсией Так как число наблюдений п=50 достаточно велико, то вместо «исправленной» можно взять «обычную» выборочную дисперсию
Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений (т.е. ). Число наблюдений в последнем интервале 3<5, поэтому объединим его с предпоследним. Далее находим середины частичных интервалов в качестве частоты варианты примем число вариант, которые попали в i–й интервал. Получим следующий ряд распределения (п=150):
| Отклонение напряжения | |||||||
Используя это распределение, вычислим оценки указанных параметров:
Таким образом, функция распределения , используемая для проверки, имеет плотность
.
В результате, выдвигаемую гипотезу можно перефразировать так: случайная величина Х (отклонение показаний источника напряжения от номинального) распределена нормально с параметрами а=7,3; т.е.
~ N(7,3;10,92).
Вычислим теоретические вероятности , попадания с.в. ~ N(7,3;10,92) в частичные интервалы , используя функцию Лапласа. В соответствии со свойством нормального распределения
Так как случайная величина ~ определена на то крайние интервалы в указанном ряде распределения заменяем, соответственно, на и .
| 8,07 | 15,75 | 28,44 | 35,23 | 31,60 | 19,24 | 11,76 |
Используя таблицы интегрального нормального закона распределения, находим:
Аналогично получаем:
Вычислим наблюдаемое значение критерия :
т.е.
Находим число степеней свободы. По выборке рассчитаны два параметра, значит , а количество интервалов 7, т.е. т=7. Следовательно, количество степеней свободы Учитывая, что уровень значимости и по таблице распределения находим критическое значение статистики , а именно Так как то гипотеза не противоречит опытным данным, следовательно, нет оснований ее отвергнуть. Гипотезы о выбранном теоретическом нормальном законе согласуется с опытными данными.