Опр. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие 8 аксиомам, т.е:
1) для любых х; у Є ЛП L сумма (х + у) Є L
2) для любых х Є L и любого числа λ произведение λ х Є L.
Аксиомы:
1) х + у = у + х, где х, у Є L
2) (х + у)+z = x+(у + z), где х, у, z Є L
3) в ЛП L существует нулевой элемент Ө,такой, что Ө + х = х, где х Є L
4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент –х такой что х + (-х)= Ө
5) 1 · х = х, где х Є L
6) α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа
7) α(х + у) = αх + αу, где х, у Є L, α- число
8) (α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа.
Замечание. Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами.
Пр. Множество действительных чисел является линейным пространством.
Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.
Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.