Теорема о линейной зависимости системы векторов линейного пространства.

Теорема 1 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой- нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.

Док-во: Н ( ) есть ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

а_1, а_2, а_{3, …} а_n – ЛЗ система векторов, т.е. существует число ≠ 0 α_1, α₂ ,α₃ … α_n, что ЛК α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n а_n= 0

Положим для определения, что коэффициент α₁ ≠ 0, разделим обе части последнего равенства на α₁ ≠ 0

отсюда следует, что а₁- ЛК остальных векторов.

 

Необходимость доказана.

Д ( ) есть один вектор линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть α_n = α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1

α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1- 1α_n = 0, так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n- линейно зависима.

 

Теорема 2 Система, содержащая нуль вектор линейна зависима.

Рассмотрим систему векторов ЛП.

Док-во: а_1, а_2, а_{3, …} а_n, Ө- нуль вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а₁+ 0· а₂+0· а₃+…+ 5·Ө = 0.

Есть не равный 0 коэффициент равный 5, линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

 

Теорема 3 Система, содержащая линейно зависимую подсистему тоже будет линейно зависима.

Рассмотрим систему векторов ЛП.

Док-во: а_1, а_2, а_к, а_{к+1 …} а_n- линейно зависимый кусочек. α₁ а₁+ α₂ а₂+ … +α_ка_к= 0, есть ≠ 0 коэффициент.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство α₁ а₁+ α₂ а₂+α_к а_к+…+0· а_к+1- 0·α_n = 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.