рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Лекция 3. Прямая на плоскости.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Лекция 3. Прямая на плоскости.

Лекция 3. Прямая на плоскости. - раздел Математика, Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства Аналогично Тому, Как Выводились Канонические Уравнения От Прямой В Пространст...

Аналогично тому, как выводились канонические уравнения от прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.

М (х, у)

М₀М ║l, отсюда следует, что - каноническое уравнение прямой на плоскости, где l=(m, n)- направляющий вектор прямой.

x= mt+ x₀

y= nt+ y₀- параметрические уравнения прямой на плоскости.

M₁M║M₁M₂, отсюда следует, что - уравнение прямой через две точки плоскости.

Если в каноническом уравнение , знаменатели m≠ 0, n≠ 0, то можно освободиться от знаменателей , , , - общее уравнение прямой на плоскости.

N= (A, B)- нормаль, перпендикулярная прямой

Проверка: N= (A, B)= (n, -m)

l= (m, n)

N·l= m· n- n· m= 0

N ^ l, отсюда следует, что N ^ прямой

Исследуем общее уравнение

1) А=0, B и С≠ 0

нет х, прямая параллельна ОХ

y= const- уравнение прямой параллельной оси ОХ

2) В=0, А и С≠ 0

нет у, прямая параллельна ОУ

х= const- уравнение прямой параллельной оси ОУ

3) С=0, А и В ≠ 0

Ах+ Ву= 0, т. О с координатами (0, 0) принадлежит прямой, прямая проходит через начало координат.

4) у=0- уравнение ОХ, х=0- уравнение ОУ

Пусть прямая отсекает на координатных осях отрезок a на ОХ и b- на ОУ.

Прямая проходит через две точки A(a, 0) и В(0, b), уравнение

, , b(x-a)= -ay, bx- ab+ ay=0, bx+ ay- ab=0, bx+ ay= ab│: ab,

- уравнение прямой в отрезках.

Если в канонические уравнения , m≠ 0, выразим у.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом (k)

Выясним смысл k и b. Из треугольника tg α=, tg α= k.

Угловой коэффициент прямой равен tg угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. Так как y(0)= b, b- отрезок, отсекаемой прямой на оси ОУ.

Через любую точку плоскости проходит бесконечное множество прямых.

Такое множество прямых, проходящих через точку называется пучком прямых.

Уравнение пучка прямых: .

Задавая различные значения угловых коэффициентов k можно выбирать различные прямые из пучка.

Пр. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l l ln Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов х l l... Опр Упорядоченный набор чисел участвующий в разложении вектора по базису... х n координаты вектора ЛП...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 3. Прямая на плоскости.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Элементы векторной алгебры. Линейные (векторные) пространства.
Опр. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие 8 аксиомам, т.е: 1) для любых х; у Є

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Дана система векторов а1, а2, а3, … аn Є линейному пространству L. Опр. Вектор α1 а1+ α2 а

Теорема о линейной зависимости системы векторов линейного пространства.
Теорема 1 Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-

Лекция 2. Размерность и базис линейного пространства.
Опр. Если в ЛП система, состоящая из n векторов ЛНЗ, а любая система с большим количеством векторов ЛЗ, то такое пространство называется n- мерным, а n называют размерностью пространства.

Теорема о разложении вектора по базису.
Опр. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом в ЛК базисных векторов этого пространства. Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l1, l2

Лекция 3. Декартовая система координат.
Рассмотрим три не нулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, ... ,ln- это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О и расп

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Возьмем в пространстве произвольную точку М (х, у, z). Первая координата х - абсцисса- это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Третья z – аппликата – ось OZ.

Проекция вектора на ось.
Опр. Проекция вектора на ось называется число модуль, которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если координата конца вектора больше к

Условие коллинеарности двух векторов.

Лекция 4. Скалярное произведение векторов.
Опр. Скалярное произведение двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на cos угла между векторами. По определению a · b= │a│

Свойства скалярного произведения.
1° a · b = b · a a · b= │a││b│· cos φ= │b││a│· cos φ= b · a 2° a · b= 0, т.к. a

Возьмем два вектора в координатной форме
а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, bz)= bxi + byi + b

Понятие евклидова пространства.
Опр. Линейное пространство называется евклидовым, если на нем введена операция скалярного произведения, ставящая в соответствия любым векторам х и у Є L число x × y, обладающее

Лекция 5. Векторное произведение двух векторов.
Опр. Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами: 1° │с│=│a││b│sin φ

Векторные произведения координатных ортов.
i k

Векторное произведение в координатной форме.
a´b= (axi + ayi + azk)× (bxi + byi + bzk)= ax bx i× i + ax by i×

Смешанное произведение трех векторов.
Опр. Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b) · с. По определению abc. Чтобы вычислить смешанное пр

Лекция 6. Смешанное произведение в координатной форме.
Возьмем три вектора в координатной форме а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, b

Лекция 1. Плоскость в пространстве.
Опр. Любой не нулевой вектор перпендикулярный плоскости называется вектором нормали к этой плоскости. N= (A, B, C) Пусть т. М0 (x0, y0, z

Анализ общего уравнения.
1) А= 0, B, C, D ≠ 0 нет х, нормаль N= (0, B, C) скалярное произведение N· i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0, N ^ i, N ^ OX, плоскость ║OX Аналогично, В=0, нет у, плоско

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Пус

Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскости отсекает на координатных осях отрезки a- оси ОХ, b- оси ОУ, с - оси OZ.

Взаимное расположение двух плоскостей.
1) Плоскость 1 с уравнением параллельно плоскости 2 с уравнением

Прямая в пространстве.
Опр. Любой ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой. l= (m; n; p) ║прямой S- в подобиях т. М0

Лекция 2. Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей.

Переход от одних уравнений прямой к другим.
1) От канонических к параметрическим.

Взаимное расположение прямых в пространстве.
1) Прямая 1 c l1= (m1, n1, p1) ║ прямой 2 c l2=(m2, n2, p2)

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Возьмем в пространстве плоскость α с уравнением , N= (A, B, C) и прямую а с уравнение

Различные расстояния в пространстве.
1) Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+ By+ Cz+ D=0. Рассмотрим от точки до плоскости это

Расстояние от точки до прямой.
т. М0 (3, 1, -1), прямая

Взаимное расположение прямых на плоскости.
Каноническое уравнение Общее уравнение Ax+ By

Окружность.
Опр. Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности). Пусть центр окружности С (а, b) и ра

Эллипс.
Опр. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (радиусов), есть величина постоянная равная 2а большая, чем расстояние между

Гипербола.
Опр. Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная равная 2а, меньшая, чем расстояние межд

Парабола.
Опр. Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы). Расположим параболу т

Сфера в пространстве.
Опр. Сферой называют множество точек пространства равноудаленных от заданной точки (центра сферы) на заданное расстояние (радиус сферы). Пусть центр сферы С (a, b, c), радиус R, т.