Теорема о разложении вектора по базису.
Опр. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом в ЛК базисных векторов этого пространства.
Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l1, l2, ... ,ln, вектор а Є ЛП. Система векторов l1, l2, ... ,ln, а, отсюда следует, что система ЛЗ, т.е. линейная комбинация α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln+αn+1a = 0, есть ≠ 0 коэффициент.
Покажем, что коэффициент αn+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что αn+1 = 0, тогда α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln+0 a = 0, отсюда следует, что α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln = 0 и есть ≠ 0 коэффициент.
Получили противоречие тому, что базис l1, l2, ... ,ln- ЛНЗ, отсюда следует αn+1 ≠ 0.
Следовательно, мы доказали, что коэффициент αn+1 ≠ 0.
Разделим на коэффициент αn+1.
отсюда следует, что вектор а - ЛК базисов.
Докажем единственность разложения базиса от противного.
Пусть есть два разложения вектора а по базису.
a = α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln
a = β 1 l1+ β 2 l2+ ... + β n ln
0 = (α1- β1) l1+ (α2- β2) l2+ … + (αn- βn) ln, т.к. базис - ЛНЗ, то коэффициенты α1- β1=0, α2- β2=0, αn- βn=0, отсюда следует α1=β1, α2=β2 , αn=βn коэффициенты совпали. Единственность разложения доказана.