рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тема 3. Векторная алгебра

Тема 3. Векторная алгебра - раздел Математика, Тема 3. Векторная Алгебра ...

Тема 3. Векторная алгебра

Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов

Определение 3.1 Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление.

Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы , , , . Если и соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается (Рис. 3.1). Вектор с началом в точке и концом в точке называет противоположным вектору .

Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Векторы и имеют один и тот же модуль.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю.

Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 1.2). Обозначают .

С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными.

Линейными операциями над векторами называются операции сложение, вычитание и умножение вектора на число.

Сложение двух векторов и можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы и от общей точки и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой (рис. 3.3).

Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм , достаточно построить треугольник . Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным.

Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 3.4).

При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Сложение многих векторов , , , , совершается последовательно: сначала складывается первый вектор со вторым , затем к их сумме прибавляется третий вектор , затем к полученной сумме прибавляется вектор и т.д. (рис. 3.5).

Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов.

Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 3.6).

Законы сложения векторов:

1. ,

2. ,

3. .

Разностью двух векторов и называется вектор , который при сложении с вектором даёт вектор (рис. 3.7).

Заметим, что если на векторах и , отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью.

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , при и противоположно ему при .

Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид и .

Законы умножения вектора на число:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора.

(3.1)

Если над векторами , , , выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида

,

представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов.

Векторы , , , называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида:

, (3.2)

где скалярные коэффициенты не все равны нулю.

Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (3.2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы , , , говорят, что они линейно независимые.

Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве.

Определение 3.2 Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (обозначают ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и ) или противоположно направленными (векторы и (рис 3.8)).

Теорема 3.1Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство

,

то оба коэффициента должны равняться нулю .

Определение 3.3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.

Теорема 3.2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

- коллинеарны (3.3)

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов и по (3.3) называется разложением на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов .

Теорема 3.3Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам , т.е. представляется в виде

(3.4)

Из (3.4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты однозначно определяются и называются координатами вектора относительно базиса .

Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении (3.4) есть координаты вектора относительно базиса .

 

Прямоугольные координаты вектора.

Действия над векторами, заданными своими координатами

Точки - это точки пересечения оси с плоскостями, проходящими через точки и , перпендикулярно оси . Обозначение . Основные свойства проекции:

Деление отрезка в данном отношении

Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим , откуда (3.16) Из равенства векторов (3.16) следуют три координатных формулы

Скалярное произведение векторов

Таким образом (3.19) где .

Скалярное произведение в координатной форме

. (3.23) То есть, если векторы и заданы своими координатами в базисе , то их скалярное…

Приложения скалярного произведения

С помощью скалярного произведения определяют косинус угла между векторами по формуле:

, (3.24)

или переходя к координатам векторов

. (3.25)

Находят проекцию одного вектора на направление другого по формуле:

, . (3.26)

Определяют длину вектора

. (3.27)

 

 


Векторное произведение векторов

1) , (3.28) т.е. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и… 2) перпендикулярен вектору и вектору ;

Свойства векторного произведения

2) (распределительность); 3) (сочетательность по отношению к скалярному множителю); 4) , если (или , или )

Векторное произведение в координатной форме

Если векторы и заданы своими прямоугольными координатами , , то

. (3.31)

 


Приложение векторного произведения

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

(3.32)

а площадь треугольника, построенного на векторах и :

(3.33)

 

Смешанное произведение векторов

Таким образом: (3.34)

Свойства смешанного произведения

1) ;

2) ;

3) ;

4) - компланарны.

Смешанное произведение в координатной форме

. (3.35)  

Приложения смешанного произведения

Объем параллелепипеда, построенного на векторах и

. (3.36)

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах и

. (3.37)

– Конец работы –

Используемые теги: Тема, Векторная, Алгебра0.062

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тема 3. Векторная алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Тема 3. Векторная алгебра
Векторы и линейные операции над векторами Разложение векторов... Определение Вектором геометрическим вектором называется направленный... Векторы рассматриваются на плоскости двумерные и в пространстве трехмерные И в том и в другом случае вектор...

ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...

Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства
Рассмотрим в ЛП размерности n базис l l ln Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов х l l... Опр Упорядоченный набор чисел участвующий в разложении вектора по базису... х n координаты вектора ЛП...

Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства
Рассмотрим в ЛП размерности n базис l l ln Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов х l l... Опр Упорядоченный набор чисел участвующий в разложении вектора по базису... х n координаты вектора ЛП...

Лінійна та векторна алгебра. Аналітична геометрія. Теорія границь, неперервність функції однієї змінної. Диференціювання функції однієї змінної
Домашні індивідуальні завдання є однією з форм організації навчальної діяльності у вищій школі яка має на меті формування вмінь Ці вміння є цілями... Викладачами кафедри вищої математики розроблено уніфіковане індивідуальне... Лінійна та векторна алгебра...

Векторная алгебра
Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a , b ,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что… Если один из векторов а, b, c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b,… Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e 1 ,e 2 ,e 3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в…

Лекція 2 ВЕКТОРНА АЛГЕБРА СКІНЧЕННОВИМІРНИХ
ВЕКТОРНА АЛГЕБРА СКІНЧЕННОВИМІРНИХ... ПРОСТОРІВ Векторні і скалярні... Для будь якого вектора існує такий вектор що...

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над свободными векторами К числу операций относятся... Суммой a b векторов aиb называют вектор проведенный из начала a к концу b...

Тема: Растровая и векторная графика
Тема Растровая и векторная графика... Получите растровыйкод и векторное описание для изображения букв... Y...

Глава I. Векторная алгебра
Глава I Векторная алгебра... Векторы в пространстве Основные определения... Определение Вектором в пространстве называется направленный отрезок...

0.038
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам