АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Геометрические векторы, операции над векторами.

В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются чис-ленным значением и направлением. Это сила, скорость,ускоре-ние.

Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.

 

Рис.1

 

Определение 2. Модуль вектора или длина – это расстояние между началом и концом.

 

Обозначения - ,.

 

Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллель-ны и направлены в одну сторону).

 

Рис.2

На рис.2 векторы и равные, векторы и имеют разную длину, векторы и противоположны, векторы и имеют разные направления.

Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой () .

Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

 

 

Операции над векторами.

Сложение.

   

Вычитание.

Рис.7   Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному век-тору прибавить вектор, противоположный второму:

Умножение вектора на число.

Если векторы коллинеарны, то .  

Свойства операции.

 

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Доказательство 4. Если , то ;

если , то ;

если и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.

5.

 

Рис.9

 

 

Определение 8.Единичный вектор, направление которого сов-падает с направлением вектора, называется ортом и обозна-чается .

 

(1)

 

 

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.

(2) выполняется только при условии . Если в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы называются линейно… Утверждение 1.Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается…

Проекция вектора на ось, свойства проекции.

  Определение 12. Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра,…  

Свойства проекции.

1.Равные векторы имеют равные проекции, то есть если , то . Доказательство.Если , то , тогда из формулы (4) следует, что проекции векторов… 2.Проекция суммы векторов равна сумме проекций, то есть .

Различные системы координат на плоскости и в пространстве.

Аффинная система координат в пространстве.

  Рис.17

Скалярное произведение, свойства.

Определение16.Углом между векторами и называется наименьший угол между этими векторами, отнесенными к общему началу.  

Свойства скалярного произведения.

2. Доказательство. . 3.

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат.

 

Приложения скалярного произведения.

1.Вычисление проекции

(20)

 

2.Вычисление косинуса угла между векторами

(21)

 

3.Условие перпендикулярности векторов

(22)

 

4. Вычисление работы силы.

Нужно вычислить работу силы , если точка, на которую действует сила, совершила перемещение .

Рис.24

 

Если точка движется по направлению силы, то по определению, работа равна произведению величины силы на длину перемеще-ния, то есть. Если точка движется под углом к направлению силы, то работает только та составляющая силы, которая направлена по линии перемещения ,перпендикуляр-ная составляющая уравновешивается сопротивлением.

, следовательно, , получаем формулу:

 

(23)

 

Работа силы по перемещению точки равна скалярному произ-ведению вектора силы на вектор перемещения.

 

Пример 3.Даны векторы и . Найти коси-нус угла между векторами.

Решение. Воспользуемся формулой (21), вычисляем:

, , .

Получаем .

Векторное произведение, свойства.

  Определение 18.Тройка векторов называется правой (левой) тройкой, если…

Свойства.

Доказательство.Пусть , построим вектор ; , то есть длины векторов и равны , но чтобы тройка векторов была правой, вектор дол-жен быть противоположен… 2.Если в векторном произведении изменить знак одного из мно-жителей, то…

Доказательство.

Рис.27 3. Доказательство.а) Для очевидно; б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изме-нится в…

Векторное произведение в декартовой системе координат.

дение.

Приложения векторного произведения.

Вычисление площадей.

  (25)  

Смешанное произведение, свойства.

Пусть даны три вектора .

 

Определение 20. Смешанным произведением данных векторов называется число

 

(29)

 

Геометрический смысл смешанного произведения.

Рис.32 Пусть векторы некомпланарные и образуют правую тройку. Найдем объем… . Если вектор будет направлен в противоположную сторону, - левая тройка и , следовательно, , то есть объем…

Свойства.

1. Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть . 2. Если в смешанном произведении сделать циклическую пере-становку множителей,… .

Смешанное произведение в декартовой системе координат.

Пусть даны векторы

 

 

или

 

(30)

 

 

Приложения смешанного произведения.

1. Вычисление объемов:

Пусть на векторах построен параллелепипед, тогда его объем вычисляется по формуле:

(31)

 

Пусть на векторах построена треугольная пирамида, тогда ее объем вычисляется по формуле:

 

(32)

 

2. Тройка векторов правая (левая) тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов положительное ( отри-цательное).

3. - это условие компланарности векторов.

 

Пример 5.Даны точки . Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.

Решение.Найдем векторы . Проверим, являются ли эти векторы компланарными, восполь-зуемся условием компланарности:

,

следовательно, векторы некомпланарны, а это значит, что точки не лежат в одной плоскости.