Парабола. Канонічне рівняння.

 

Параболою називається множина точок, відстань яких від фокуса дорівнює відстані від директриси (рис.5.9).

Знайдемо канонічне рівняння параболи на основі її геометричної властивості , або

 

.

 

Після спрощення отримаємо

 

.

 

Рівняння параболи також може мати вигляд:

.

Така парабола має фокус , директрису .

 

Рис.5.9

 

Приклад. Скласти рівняння параболи, вершина якої лежить у початку координат, коли: а) парабола симетрична відносно осі Оx і має фокус в точці ; б) парабола симетрична відносно осі Oy і має директрису .

Розв’язання.

а) . Фокус параболи: .

Тобто, , . Маємо: .

б) . Директриса параболи: .

Якщо, , то , . Маємо: .

Якщо лінія другого порядку задана в загальному вигляді, паралельний переніс системи координат дозволить визначити тип лінії.

Нехай маємо систему координат xOy з початком в точці О(0;0). Перенесемо паралельно вісі координат і отримаємо нову систему координат з початком в точці . Тоді можна записати координати точки в новій системі

 

.

 

Приклад. Визначити тип лінії:

а) ;

б) .

Розв’язання:

а) ;

;

.

 

Робимо паралельний переніс системи координат:

 

;

;

– еліпс.

б) .

.

.

, , .

– гіпербола.

Якщо центр лінії другого порядку знаходиться в точці , то рівняння кривих будуть:

коло: ;

еліпс: ;

гіпербола: ;

парабола: