Поверхні та лінії у просторі. Їх рівняння

 

В аналітичній геометрії розв’язують дві основні задачі:

1. Множина точок задана геометричною властивістю. Знайти її рівняння та дослідити його властивості.

2. Дано рівняння. Дослідити множину точок, яка задається цим рівнянням.

Лінією у просторі називають лінію перетину двох поверхонь, тобто множину точок, координати яких задовольняют одночастно двом рівнянням:

.

 

Координати точок, що не лежать на лінії, не задовольняють систему рівнянь. У конкретному випадку:

.

 

Можна виключити з першого рівняння системи. У цьому випадку лінія належить площині , тобто - це рівняння лінії на площині.

Приклад. Знайти рівняння лінії, всі точки якої знаходяться на одній відстані від точки .

1. Вибираємо довільну точку на лінії.

2. Запишемо рівнянням умову задачі.

Відстань між точками та :

 

,

або

.

 

Це є рівняння кола, радіус якого дорівнює , а центр має координати .