Канонічні рівняння кола та еліпса

 

Колом називається множина точок, відстань кожної з яких до однієї точки, що називається центром, є величина стала. Відстань будь-якої точки кола від її центра – це радіус кола.

Знайдемо рівняння кола з центром у точці та радіусом R. Нехай – деяка точка кола. Тоді з визначення маємо (рис.5.5) , або , або

.

Це буде шукане рівняння кола. Якщо центр кола співпадає з початком координат, то рівняння кола буде:

 

.

 

Еліпсом називається множина точок, сума відстаней яких від двох фіксованих точок площини, що називаються фокусами, є величина стала.

Для знаходження канонічного рівняння еліпса позначимо – довільну точку еліпса. Нехай вісь Оx проходить між фокусами, а вісь Oy – через середину відстані між фокусами. Тоді з визначення еліпса (рис.5.6). відстань між фокусами нехай буде дорівнювати 2с (2а>2с), тобто для еліпса а>с.

 

Рис.5.5 Рис.5.6

 

Запишемо рівняння еліпса відповідно до його визначення:

.

Спростимо одержане рівняння

.

Позначимо через величину . Одержимо

,

або

.

 

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса.

Таким чином, еліпс – замкнута крива, яка симетрична відносно вісей координат та початку координат, тому що разом з точкою до цієї кривої належать і точки , , . Усі точки еліпса лежать у середині прямокутника, який обмежений прямими . Точки та називаються вершинами еліпса, а числа та – піввісями еліпса. Для еліпса . Величина називається ексцентриситетом еліпса та характеризує його форму. Якщо , то (еліпс переходить в коло), якщо зменшувати , залишивши сталою, то еліпс буде наближатися до відрізка .

Ексцентриситет еліпса можна знайти за формулою:

або

, .

 

Лінії називаються директрисами еліпса .

Приклад. Задано еліпс: . Визначити його вісі, вершини, фокуси, директриси.

Розв’язання. Запишемо задане рівняння в канонічній формі:

 

.

 

Видно, що , . Тобто вісі: , . Координати вершин еліпса : (3; 0), (-3;0), (0; 2), (0; -2). Знайдемо величину . Таким чином, , . Для рівнянь директрис еліпса знаходимо ексцентриситет . Тоді маємо: .