Теорема 2. Якщо функція при деякому значенні має похідну , а функція має похідну в точці , якій відповідає значення , то похідна складеної функції визначаєтсья за формулою:
або
Доведення. За умовою теореми функція має похідну в точці , тобто існує , звідки, згідно з теоремою про границю маємо: , де – нескінченно мала при . Тоді
або
.
При і (завдяки неперервності функції, що має похідну). Отже, знайдемо границю :
.
Звідки одержуємо правило для знаходження похідної складної функції:
.
Приклади.
Знайти похідну:
а) .
Якщо , тоді . За таблицею похідних будемо мати:
.
б)
Отже,
Випадок складеної функції як суперпозиції декількох вичерпується послідовним застосуванням наведеного правила. Так, для функції
, ,
Приклад. Знайти похідну , .