Теорема про диференціювання складеної функції дає можливість довести правила обчислення похідних для функцій.
1. Обернена функція. Якщо функція має обернену і існує похідна відмінна від нуля в деякій точці , то .
Доведення. Згідно з означенням оберненої функції змінну можна розглядати як складену функцію:
, ,
Тоді:
.
Візьмемо похідну від цієї функції за змінною .
, або
Таким чином,
і .
Приклад. Знайти похідні:
а) .
Вважаючи, що , , або
.
Отже,
.
б)
Тоді , , .
2. Неявна функція. Функція визначається нерозв'язаним відносно рівнянням:
, або
Для знаходження похідної від не має потреби розв'язувати рівняння відносно (не завжди це можно зробити), достатньо розглянути як своєрідну складену функцію від із врахуванням, що , знайти з цієї тотожності. Покажемо це на прикладі залежності ординати у точки кривої другого порядку, яка має рівняння:
Знайдемо похідну обидвох частин рівняння по , враховуючи, що змінна – функція . Отже,
Розв'язуючи це рівняння відносно маємо:
Для обчислення похідної в деякій точці треба знати і відповідне значення функції .
3. Степенево-показникова функція (логорифмічне диференціювання). Функція, яка має вигляд називається степенево-показниковою. Для обчислення похідної цієї функції знайдемо: . Одержана функція буде неявною і до неї застосуємо правило диференціювання неявної функції. Отже,
.
З цієї рівності одержимо
.
Приклад. Знайти похідну функції .
Згідно з правилом, одержимо:
або
.
Звідки
.
4. Параметрична функція. Функцію називають поданою в параметричній формі, якщо вона визначається за допомогою двох функцій , від допоміжної змінної (параметра), а саме
Параметричну функцію можна диференціювати, як неявну, не вдаючись до явного її завдання.
Теорема 3. Похідна функції, що задається рівняннями , дорівнює:
,
якщо та мають похідні по аргументу .
Доведення. Функцію від можна розглядати як складену функцію: , , тобто . Тоді, за правилом похідної складеної функції:
, бо .
Таким чином, теорему доведено.
Зауважемо, що геометрично — деяка лінія, тоді рівності ; називають параметричними рівняннями лінії.
Приклад. Знайти похідну функції
Відповідно теоремі:
,
тобто
.
Геометрично, якщо виключити параметр , одержуємо:
Тобто, задана параметрична функція є параметричним рівнянням кола, радиуса , – кут між радіусом – вектором точки кола і додатним напрямком осі .