Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова»

 

 

Утверждено

Проректор по учебной работе   ____________________ О. И. Родькин

Пояснительная записка

Цель изучения дисциплины

В результате усвоения этой дисциплины обучаемый должен получить: представление: · о различных видах матриц;

Содержание учебного материала

ВведениеПредмет математики. Краткая историческая справка о развитии математики как науки. Цель и задачи курса.

 

РАЗДЕЛ I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

2. Определители и их основные свойства. Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Правило Крамера. Понятие совместности системы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

3. Векторы. Линейные операции над векторами, их свойства. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

4. Произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства. Векторное произведение двух векторов. Векторно-скалярное произведение трёх векторов.

5. Системы координат на плоскости. Понятие об уравнениях линии. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости. Линии второго порядка на плоскости.

6. Декартова система координат в пространстве. Понятие об уравнениях поверхности. Уравнение прямой в пространстве. Поверхности второго порядка в пространстве

РАЗДЕЛ II. Математический анализ

1. Комплексные числа. Определение комплексного числа. Комплексная плоскость. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формула Муавра.

2. Определение функции. Числовые последовательности. Существование предела монотонной последовательности (без доказательства). Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы.

3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

4. Производная функции. Её геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производные элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная неявной функции. Производная функций, заданных параметрически. Производная степенно-показательной функции. Производные высших порядков.

5. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

6. Исследование функций с помощью производной. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графика функции.

7. Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций.

8. Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Применение способов подстановки и интегрирования по частям.

9. Приложения определённых интегралов в геометрии (к вычислению площадей плоских фигур и объёмов тел вращения), физике и биологии.

10. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.

11. Функции двух независимых переменных. Предел. Непрерывность. Частные производные. Экстремум функции двух переменных. Полный дифференциал.

РАЗДЕЛ III. Дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения первого порядка и его геометрический смысл. Задача Коши. Решения дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных, в полных дифференциалах).

2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение некоторых дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

3. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

4. Примеры использования обыкновенных дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов (химические реакции, дифференциальные модели в экологии)

Учебно-методическая карта дисциплины

 

Примечание: Темы, отмеченные символом «*», изучаются самостоятельно.

Информационная часть

 

Основная литература

1. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т.: Учебник для студентов вузов.- Мн.: Тетра Системс, 2001.-544 с.

2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии. - Мн.: Амалфея, 1999.-208 с.

3. Дадаян А.А., Масалова Е.С. Сборник задач по аналитической геометрии и элементам линейной алгебры. - Мн.: Выш. школа, 1982. - 206 с.

4. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч.-Мн.: Выш. школа, 1988.

 

Дополнительная литература

5. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач.- Мн.: Тетрасистемс, 2001.-288 с.

6. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие по решению задач.-Мн.: ТетраСистемс, 2001.-416 с.

7. Высшая математика (матрицы и определители, аналитическая геометрия, линейная алгебра, функции и пределы): Учеб.-метод. пособие (для заочников) /Сост.: Е.П.Борботко, Т.Е. Кузьменкова, А.В.Шевцова,– Минск: -,2008. – 38 с.

8. Справочное пособие по решению задач курса аналитической геометрии и линейной алгебры / Сост.: Е.П.Борботко, Т.Е.Кузьменкова, В.В.Пакштайте, А.В.Шевцова.- Мн.: МГЭУ им. А.Д.Сахарова.- 2005. –72 с.

 

 

Перечень методических средств (наглядных и других пособий, методических указаний, специального программного обеспечения)

1. Задания к контрольной работе №1;

2. Задания к контрольной работе №2;

3. Вопросы и задания к зачету;

4. Вопросы и задания к экзамену.

 

Рабочую программу составили: старший преподаватель кафедры физики и высшей математики

Шевцова А.В.